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大学受験、数学の問題 やさしい理系数学

正の整数a,b,cが a^2+b^2=c^2をみたすとき、a,bのいずれかは4の倍数であることを証明せよ。 という問いで、16の倍数+余り、と解答にありますが、これは4の倍数ではだめなのでしょうか? やさ理例題3です。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.3

「a,bのいずれかは4の倍数である」ことの証明ですよね。 4で割り切れない偶数でも平方すれば4の倍数になってしまうので, a^2+b^2=c^2を4で割った余りで考えても何も出てこないはずです。 なお,16で割った余りを考えるときは,奇数の平方の余りは1以外にも 9の場合があることに注意です。場合分けを増やさないようにと,8で 割った余りを考えてはどうかとも思いますが,aとbがともに4で割り切 れない偶数のときにc^2が8で割り切れるというだけでは矛盾が出ない ので,やはり16で割った余りを考えなければいけないようです。 ちなみに,本問では使えそうで使えませんが, 「平方数が8で割り切れるならば,その平方数は16で割り切れる」 というのはしばしば用いられます。

ohayo-unagi
質問者

お礼

理解出来ました!ありがとうございます。

その他の回答 (2)

回答No.2

ピタゴラスの定理って、ある種の不定方程式ですよね。自然数であって且つ三変数に共通因数がない、という前提のもとに解く、でしたか。

  • Parinne
  • ベストアンサー率7% (14/187)
回答No.1

高校受験レベルの問題ですよ。 ヒントです。c^2-b^2=(c+b)(c-b) 別にaでもいいけどね。 訳のわからない解答よりは、自分で筋道を立てて解く事を薦めます。

ohayo-unagi
質問者

補足

解答の説明を求めています。 解答では16で割った余りを比較してるが、4で割ったらダメなのかと聞いています。

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