離散数学の問題

質問

離散数学の問題

（書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には　_ をつけておきました）
自然数nは
n=p_1^e_1*p_2^e_2*...p_r^e_r （p_1<...<p_r,e_1,...,e_r≧0）
という形に素因数分解できるとする。
次の問いに答えよ。
nの全ての異なる正の約数の和をσ(n)とする。
例えばσ(8)=1+2+4+8=15です。
このときσ(n)=(p_1^e_1+1 -1)/(p_1-1) *(p_2^e_2+1 -1)/(p_2-1)*・・・(p_r^e_r+1 -1)/(p_r-1)
となることを示せ。
上の式で１文字ぶん空けてあるところが所々ありますが、これは指数部分の終わりを示しています。
証明をどのように進めていけばよいかわかりません。
分かる方、助けてください。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちは。

Tacosanさんフォローありがとうございます。時期柄なのか、レポートじみた質問が多いですね。
表現は大学っぽい感じですが、内容は高校数学で十分ですね。

さて本題ですが、ポイントは次のような点だと思います。
・先の別問でもコメントしているように、それぞれの約数が素因数の「組合せ」になっている点です。和を求めるといっても、まずはどのような数があるのかを把握しないといけませんね。
・もう1点は、証明すべき式が「等比数列の和」の形が並んでいる（かけ合わされてる）という点です。

素因数が 2種類しかなければ、行列のように書き下せますが、3つ以上になってくると難しいですね。

そこで、ある素因数だけに注目します。
ある kに対して、素因数 p_kの指数だけを0～e_kで変化させてみます。
このとき得られる約数は、
1個目：p_1^e_1* ・・・* p_k^0* ・・・* p_r*e_r
2個目：p_1^e_1* ・・・* p_k^1* ・・・* p_r*e_r
・・・・・
e_k+1個目：p_1^e_1* ・・・* p_k^e_k* ・・・* p_r*e_r

となります。これらの和が等比数列の和として計算できることは、すぐわかると思います。

当然、それぞれの p_iについても値をずらしていくことを考えると、問題の式を導出できます。
この観点で先の別問の 2^3* 3^3の様子も見てもらえば、イメージがわくかと思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。
何とか解くことができました。
問題を採点してもらったら、きちんと復習しておきたいと思います。

回答No.2

Tacosan

「より正確」っちゃ「正確」だけど.... でも, まだ言われたことを完全に理解はできていないみたいですね.
あと, 「改めて質問する」ことそのものを否定はしないけど, 前の質問に対して回答がついているんだよね. それに何も触れずに全く同じように質問するというのは「回答を無視する」のと同じであり, その回答者に対して礼を失する行為だとは思いませんか? せめて, その回答に基づいて「何をどのように考え, どこがまだわからないのか」くらいは書きましょうよ.

お礼

ご指摘ありがとうございます。
前回の解答に基づいて、約数は各素因数の積によってそれぞれ全て表すことが可能だと分かります。
また約数の和を示す式も各項の積で全てのの約数がでてくるために成立することが分かります。
しかしそれを証明につなげるのにもう少しヒントが欲しいです。
まだひらめきがこないので・・

回答No.1

Tacosan

前に自分で質問したってことを忘れた?

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5981994.html

お礼

わざわざ指摘していただきすいません。
忘れたわけではありません。
前回よりもより正確に訂正して質問しなおさせていただきました。