約数の個数

質問

私が今使っている参考書の数Aのテーマの一つで「約数の個数」というものがあり、解説として

　自然数Nの素因数分解が
　　Ｎ＝ｐ^a＊ｑ^ｂ＊ｒ^ｃ（←ｐのa乗×ｑのｂ乗×rのｃ乗）
であれば、Nの正の約数の個数は
　　　（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）個である

この公式の補足説明の中に、
　ここでは、正の約数の個数だから上の数となったが、「Nの約数となる整数」というときには、負の約数も考える必要があるから、さらに上の数の２倍で、２（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）である

という解説がでていました。
　負の約数　という概念がわかりません。どういうもなのでしょうか。よろしくお願いします。

なお、この参考書は、受験用の公式集です。

回答No.5

kumipapa

専門家ではありませんので、参考意見として頂きたいのですが・・・。
話がちょっと長くなるので、まず結論。
試験などで単に「約数」と言われたら、私は正の整数だけを考えれば良いと思います。

根拠と言うにはふさわしくありませんが、ＴＯＭＡＣでは、正の整数Ｎが、Ｎ＝ｐ^a＊ｑ^ｂ＊ｒ^ｃと素因数分解されるとき、Ｎの約数の個数は（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）である、が正解とされます。つまり、Ｎの約数に負の整数は含まれていません。また、ＴＯＭＡＣでの「約数の個数」の定義に、「正の約数」という但し書きはありません。「正の約数」という但し書きがなくても、正の整数の約数に負の数は含めないという事です。学術的な根拠ではありませんが、ま、とにかくそういうことです。

また、ＮＥＴで調べると、約数の定義が「自然数対して割り切れる自然数」というように元々対象が自然数に限定されている例もあります。また、負の約数を認めたとき、素数の定義は正確にはどうなっているの、完全数や友愛数の問題はどうなってしまうの、などなど気になります。

A.No3さんのお話しで、正の整数Ｎが、Ｎ＝ｕａｂｃｄ（ただしｕは単元）と素元分解されるとします。Ｎが正の整数ならｕ＝１です。通常は素因数分解に単元ｕは省略されますが、きちんとｕと書いて、整数を議論するときにはｕについても議論しましょう、というのが皆さんのお話ですね。例えば、
「Ｍ＝(ｕ1)ａｂ，Ｌ＝(ｕ2)ｃｄで、Ｎ＝ｕａｂｃｄ、u1×u2= uならば、Ｍ，Ｌは互いにＮの約数である」
というような議論で、u1=u2=1なら、Ｍ，ＬはＮの正の約数だし、u1=u2=-1なら、Ｍ，Ｌは負の約数だと言うべきではないか、というのが皆さんの話。でも、「約数」という言葉に振り回される必要は全く無いわけで、こんなことで悩む必要はないでしょう。例えば、６＝ＭＬ（Ｍ，Ｌは整数）のとき、Ｍ，Ｌの組み合わせを求めよ、と言われれば、当然Ｍ，Ｌが負の整数の場合も考えるでしょうし、「６の約数の数を求めよ」と言われれば、普通は正の整数の範囲で考えると思いますね。

最後に、ANo.3さんの例題、
「例えば，
(x-5)(y-6)=3を満たす自然数x,yをすべて求めよ
とかいわれたらどうしますか？
x-5，y-6は3の約数なので
(x-5,y-6)=(1,3)，(-1,-3)，(3,1)，(-3,-1)」
という例題ですが、これは論理展開に正直無理があるなーと思います。
揚げ足を取るようで本当に申し訳ありませんが、
「x-5,y-6は３の約数なので（以下、x-5,y-6は負の場合も検討しなければならない）」という論理展開は、負の数を約数として認めなければならない根拠にはならないでしょう。「x-5,y-6の積が３なのだから、x-5,y-6は３の約数というべきだろう」ということだと思うのですが、これがまた頭の痛いところで、「割り切れる」という日本語の定義が問題。商が負のときは「割り切れるとは言わない」という主張があります。ですから、この例題では、（負の数を約数と認めない採点者がいたとすると）「x-5,y-6の積が３なので、x-5,y-6が正負の整数である場合を考えて・・・」とし、約数という言葉を使わないのが正解でしょうね。

ま、結局、約数という言葉の定義の問題であって、整数の積を扱う問題で負の数を含めて考えるのは常識としても、言葉の使い方としては、「正の整数」ということで別に困らないなーと思います。

補足

話が複雑になってまいりました。
この話（結論）に対し、皆様はどう思われますか？

回答No.4

yhposolihp

ANo.2　です。

ANo.3 様の見解が正しいです。

＞＞＞式が汚くなるので、
は、全く同感です。

(2)が基準であり、(1)の方が限定されている、とするのが正しいです。
ANo.3の例題をみると、良くわかります。

＞＞(1)と(2)を分けるメリット（分けて考える必要のある場合）は何でしょうか。

メリットとか、ディメリットと言うこととではなくて、
出題者が、どちらを要求しているか。
そして、問題文から読み取れるかどうか。と思います。

＞＞場合分けが複雑ですね。

単に２倍すれば良い問題なら、容易ですが、

ANo.3 様　が書いていらしゃる例題の場合は、必然的に(2)になります。
この例題は、最初に出会うと、(1)と思ってしまう、落とし穴があります。

お礼

＞出題者が、どちらを要求しているか。
＞そして、問題文から読み取れるかどうか。と思います。

ありがとうございます。
参考にいたします。

回答No.3

kabaokaba

約数といった場合にはその文脈で
判断しなければいけないことがままあります．

>中学の参考書で調べてみると
>　約数とは、「ある整数ａを割り切れることができる数ｂをａの約数という。」

これは正しいのですよ．別に「正の数」「自然数」だけに
限定してません．「整数」って書いてますよね．
この定義なら，例えば整数 10 の約数として，-2 は許容されます．
ただし「割り切れることができる数ｂを」というのが曖昧なので
そこは「割り切れることができる整数ｂを」とすべきでしょう．

>約数の個数は（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）個であるという表示になっており

これは曖昧でまずいです．「約数の個数」ではなく，
「正の約数の個数」なんです．
ただし，中学校の最初の段階でそこまでいうのは酷なのと
学習順序の問題で・・・正の数・負の数の前に
約数・倍数があることがあります．
この場合，そもそも負の数への言及がその時点でできないのです．
＃丁寧な本ではきちんと注釈があるものです．
＃あなたが見ている「公式集」でも「補足」されてますよね

約数・倍数に負の数も入れるかどうかですが・・・
例えば，
(x-5)(y-6)=3を満たす自然数x,yをすべて求めよ
とかいわれたらどうしますか？
x-5，y-6は3の約数なので
(x-5,y-6)=(1,3)，(-1,-3)，(3,1)，(-3,-1)
これを整理して
(x,y)=(6,9),(4,3),(8,7),(2,5)
となるので3の約数として負のものを考えないといけないわけです．

つまり・・・文脈を考慮する必要があります．

きちんと作成された問題であるならば，
このような誤解がないようにきちんと工夫されています．
単純に「約数の個数を求めよ」ではなく，
何らかの形で「自然数」だけに議論が限定されていたりします．
そういうのを読み取るのも出題者が要求している事項です．

数学としては負の約数の排除なんかはしてません．
条件によって考えないケースがあるだけです．
約数の個数については式が汚くなるので
自然数だけの限定してしまうことが多いんです．
「約数の総和」だと負の数をいれると意味がなくなる（常に0）ので
負の数は入れませんね．

ちなみに・・・
>数学としては、（１）としてあるようで、NET検索しても、（２）は出てこないように、思います。

ネットで検索できるか否はともかく，そんなことはないです．
素因数分解，一般には
素元分解とか素因子分解とかいいますが，
これの一意性には留保条件「単元を除いて」があります．
単元というのは
「考えている範囲で逆数の存在するもの」ということで
整数で考える場合は，
1（逆数1），-1（逆数-1）が単元になります．
この単元が掛かっているか否かは最初から同じものとみなして
議論しているだけなのです．
なお，細かい議論をするときにはきちんと，例えば
X=uabcdと分解する．ただしuは単元とする
というように記述しますよ．

お礼

ありがとうございます。
約数といえば、整数を考え、整数は「正の整数＋負の整数」を考えるということですね。
　正の整数の時は、自然数（←条件とし、負の整数を排除する）と限定するということですね。

補足

ありがとうございます。整理ができました。

＞単元というのは
＞「考えている範囲で逆数の存在するもの」ということで
＞整数で考える場合は，
＞1（逆数1），-1（逆数-1）が単元になります．
＞この単元が掛かっているか否かは最初から同じものとみなして
＞議論しているだけなのです．

ちなみに、この「単元」というものがよくわかりません…

回答No.2

yhposolihp

約数の個数は、

（１）正の数の場合、
（２）整数（負の数を含める）場合、があります。

数学としては、（１）としてあるようで、NET検索しても、（２）は出てこないように、思います。

受験問題では、（１）も（２）もあります。

＞＞ここでは、

と書いてある様に、問題文の中で、何らかの文脈で、
（１）と（２）は判別できるようになっています。

＞＞概念がわかりません。

４の約数は（１）では、１、２、４　です。
　　　　　　　（２）では、±１、±２、±４　となります。

お礼

ありがとうございます。
場合分けが複雑ですね。

補足

＞（１）正の数の場合、
　（２）整数（負の数を含める）場合、があります。

(1)と(2)を分けるメリット（分けて考える必要のある場合）は何でしょうか。

素朴な疑問です…。

回答No.1

kabaokaba

例えば，10の約数なら
1,2,5,10
のほかに，負の数を入れるなら
-1,-2,-5,-10
もあるぞという話です．

補足

回答ありがとうございます。
ちなみに、中学の参考書で調べてみると
　約数とは、「ある整数ａを割り切れることができる数ｂをａの約数という。」と表示してあり、約数の個数は（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）個であるという表示になっており、これは正の数を想定しているとおもわれます。
　いつの時点で、負の数も約数に入るという定義付けがされたのでしょうか。
　よろしくお願いします。