約数の個数

質問

12個の異なる約数（1と自分自身を含む)をもつ最も小さい整数は、選択肢のどの範囲内にあるか。

45<=X<55,55<=X<65,65<=X<75,75<=X<85,85<=X<90

求めるものをnとする。
素因数因数分解してn＝2^a*3^bとなる場合を考える。
(a,b)=(5,1)のとき
n=96
(a,b)=(3,2)のとき
n=72
これより75<=X<85の範囲にある

以上が私の考えです。nは素数だと12個の異なる約数ができないし
2または3だけの要素からなるnは選択肢の範囲を超えてしまいます。
そこでn＝2^a*3^bという形で表されると考えて解きました。

自信はないので間違っていると思われます。
分かる方宜しくお願いします！

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｎ＝２＾ａ＊３＾ｂ＊５＾ｃ
の場合は考えてみました？

補足

なるほど～！

(a,b,c)=(2,1,1)で

n=60

が出来ました！

回答No.2

noname#29493

Kの約数の個数を求めるには、a1,a2,a3・・・amを素数として
K=(a^n1)(a2^n2)(a3^n3)・・・・(am^nm)
で表せて、(n1＋1)(n2＋1)(n3＋1)・・・(nm＋1)がK約数の個数である。これを利用しよう。
nは12個の約数の個数で最小の自然数で、
n=(2^a)(3^b)(5^c)として考えて 12=2×2×3
a=2,b=1,c=1とすれば
(a＋1)(b＋1)(c＋1)=12になってn=60
答えこれじゃないかな。
なぜそうなるかちょっと今考えてます。とりあえず結論だけ出しました

補足

私は最初n=(2^a)(3^b)(5^c)を考えることが出来ませんでした。
解答をきれいにまとめるにはどうすればよいでしょうか。
n=(2^a)(3^b)の場合も解答に残した方が良いのでしょうか。
この場合を日本語かなにかで不適と出来ればきれいな解答にな
るのかな、なんて考えています。