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約数の総和
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- eco1900
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約数の総和 正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか？ 総和なので ()+()+()ではないかと思いました 例えば、小学生のように「２４」の約数を書き出すと・・・{ １，２，３，４，６，８，１２，２４ } ですね。 中学になって「指数」というのを学習したからには、もっと上手な書き出し方をしてみましょうか^^A。 →まず「２４」を素因数分解します。２４＝２^3×３ →ここで、あえて最後（２４＝・・・×３）の「３」の指数もあえて１乗とはっきりと示しておきます。 →この形から、２４の約数というのは、指数の部分に着目して、次のように考えることができますよ^^。 ＊「２^3×３^1」のいう形から・・・指数を０乗から、もれなく書いてみましょう。 →すると・・・ 「２^0×３^0」、「２^0×３^1」 「２^1×３^0」、「２^2×３^1」 「２^2×３^0」、「２^2×３^1」 「２^3×３^0」、「２^3×３^1」 →次に、この形のまま加えると・・・ （２^0×３^0）＋（２^0×３^1） ←この部分だけを注目すると「 ２^0（３^0＋3^1） 」ですね。 ＋（２^1×３^0）＋（２^2×３^1） ←上と同じように見直すと「 2^1（３^0＋３^1） 」ですね。 ＋（２^2×３^0）＋（２^2×３^1） ←以下、同じように見直すと「 ２^2（３^0＋３^1） 」ですね。 ＋（２^3×３^0）＋（２^3×３^1） ←この部分も、「 ２^3（３^0＋３^1） 」ですね。 ということは、見直した形を一気に書き直すと・・次の計算式のようになります。 （３^0＋3^1）（２^0＋２^1＋２^2＋２^3） 以上から、約数の総和は、素因数分解した時の各因数につく指数に注目して・・・ 「ある数A＝p^a×q^b×r^c」と因数分解されたなら、その総数は、各因数（p,q,r）に付いた指数に着目し、０を起点としてその指数までの自然数を付けた形の和で表します。そして、それらの積を計算することによって、「約数の総和」と求めることとなります＾＾。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
すなおに (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) を展開してみよう。全ての約数が出てくることがわかると思います。
例えば、4,9,25という約数の積 4x9 9x25 4x25 4x9x25 も約数だから？ にゃん。 にゃんにゃん。 にゃんにゃんにゃん。 にょ？
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
約数を一度全部書き出してみれば、わかると思います。 こんな感じで。＾＾ http://okwave.jp/qa/q5981994.html
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
600 の正の約数の総和を計算してみてはどうだろうか.
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