• 締切済み
  • すぐに回答を!

約数の総和

正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか? 総和なので ()+()+()ではないかと思いました。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数5
  • 閲覧数408
  • ありがとう数1

みんなの回答

  • 回答No.5
  • eco1900
  • ベストアンサー率66% (59/89)

約数の総和 正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか? 総和なので ()+()+()ではないかと思いました 例えば、小学生のように「24」の約数を書き出すと・・・{ 1,2,3,4,6,8,12,24 } ですね。 中学になって「指数」というのを学習したからには、もっと上手な書き出し方をしてみましょうか^^A。 →まず「24」を素因数分解します。24=2^3×3 →ここで、あえて最後(24=・・・×3)の「3」の指数もあえて1乗とはっきりと示しておきます。 →この形から、24の約数というのは、指数の部分に着目して、次のように考えることができますよ^^。 *「2^3×3^1」のいう形から・・・指数を0乗から、もれなく書いてみましょう。 →すると・・・    「2^0×3^0」、「2^0×3^1」    「2^1×3^0」、「2^2×3^1」    「2^2×3^0」、「2^2×3^1」    「2^3×3^0」、「2^3×3^1」 →次に、この形のまま加えると・・・    (2^0×3^0)+(2^0×3^1)  ←この部分だけを注目すると「 2^0(3^0+3^1) 」ですね。    +(2^1×3^0)+(2^2×3^1) ←上と同じように見直すと「 2^1(3^0+3^1) 」ですね。    +(2^2×3^0)+(2^2×3^1) ←以下、同じように見直すと「 2^2(3^0+3^1) 」ですね。    +(2^3×3^0)+(2^3×3^1) ←この部分も、「 2^3(3^0+3^1) 」ですね。 ということは、見直した形を一気に書き直すと・・次の計算式のようになります。   (3^0+3^1)(2^0+2^1+2^2+2^3) 以上から、約数の総和は、素因数分解した時の各因数につく指数に注目して・・・ 「ある数A=p^a×q^b×r^c」と因数分解されたなら、その総数は、各因数(p,q,r)に付いた指数に着目し、0を起点としてその指数までの自然数を付けた形の和で表します。そして、それらの積を計算することによって、「約数の総和」と求めることとなります^^。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 約数の総和についての問題です!

    17640の正の約数のうち、15で割りきれないものの総和をお願いします! 正の約数の個数は72個、単なる約数の総和は66690まで出せたのですがここからがわかりません! 回答お願いします!

  • 約数の個数

    私が今使っている参考書の数Aのテーマの一つで「約数の個数」というものがあり、解説として  自然数Nの素因数分解が   N=p^a*q^b*r^c(←pのa乗×qのb乗×rのc乗) であれば、Nの正の約数の個数は    (a+1)(b+1)(c+1)個である この公式の補足説明の中に、  ここでは、正の約数の個数だから上の数となったが、「Nの約数となる整数」というときには、負の約数も考える必要があるから、さらに上の数の2倍で、2(a+1)(b+1)(c+1)である という解説がでていました。  負の約数 という概念がわかりません。どういうもなのでしょうか。よろしくお願いします。 なお、この参考書は、受験用の公式集です。

  • 約数の総和

    約数の総和 以下のような、算数の問題がでました。 どのように解けばよいのでしょうか? ある整数があります。 この整数のすべての約数をたすと、1344になります。 また、それぞれの約数を逆数にしてから、全てたすと、5分の16(16/5)になります。 このとき、元の整数を求めなさい。 ご回答よろしくおねがいします。

  • 回答No.4

すなおに (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) を展開してみよう。全ての約数が出てくることがわかると思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
noname#154561
noname#154561

例えば、4,9,25という約数の積 4x9 9x25 4x25 4x9x25 も約数だから? にゃん。 にゃんにゃん。 にゃんにゃんにゃん。 にょ?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

約数を一度全部書き出してみれば、わかると思います。 こんな感じで。^^ http://okwave.jp/qa/q5981994.html

参考URL:
http://okwave.jp/qa/q5981994.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

600 の正の約数の総和を計算してみてはどうだろうか.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 約数の求め方

    現在中二です。 素因数分解を利用して250の約数をすべて選びなさい。 この問題がわかりません。 普通に素因数分解して2×5の3乗 それからどうすればいいのかがわかりません。 分かる方、教えてください。 そして、分かりやすい解説つきでお願いします。

  • 約数の総和

    約数の総和 以下のような、算数の問題がでました。 どのように解けばよいのでしょうか? ある整数があります。 この整数のすべての約数をたすと、1344になります。 また、それぞれの約数を逆数にしてから、全てたすと、5分の16(16/5)になります。 このとき、元の整数を求めなさい。 ご回答よろしくおねがいします。

  • 素因数分解の問題教えて下さい。

    ある整数Nを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。 この整数Nの正の約数のうち1の位が1であるものは何個あるか求めよ。 という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが,どのようにしたらよいかわかりません。 答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。 よろしくお願いします。

  • 素因数分解と約数の個数

    こんばんわ。早速ですが、質問に移らさせていただきます。 例えば、36=2の2乗×3の2乗、と素因数分解できます。このように、素数の積にする事により 約数の個数が解ります。この場合、 (指数+1)×(指数+1)が、約数の個数になります。 このような公式を学んだところなのですが、具体的な整数でいろいろと試してみましたが、なぜ、そのような公式になるのかが、検討もつきません。何か、手がかりがあれば、よろしくお願いいたします。

  • 約数

    与えられた自然数N=(p^l)*(q^m) □で、l,mは0以上の整数について (1)Nの正の約数の個数 (2)Nの正の約数の総和 (1)上記の問題の(1)のNの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で 回答はp,Qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか? 例えば2つの整数aとbの最大公約数をGとくと、a=a'G,b=b'Gとおける a'とb'は素とするとこうな考えをするのでしょうか? (2)(1)の条件のもとで、(2)を解くと p/r=a,q/r=bとおくと N={(ar)^l}*{br}^m =(a^l)*(b^m)*r^(l+m) Nの正の約数の総和は S=((a^0)+(a^1)+…(a^l)) ((b^0)+(b^1)+…(a^m)) ((r^0)+(r^l)+…(r^(l+m))) から {1-a^(l+1)}/1-a * {1-b^(m+1)}/1-b *{1-r^(l+m+1)}/1-r になることわ分かりません。

  • 集合・場合の数

    ニュースタンダード48 1800の正の約数(1を含む)は、全部で(ア)個ある。 また、それらの約数の総和は(イ)である。 解答 (ア)36 (イ)6045 p,q,rを素数とおいて、素因数分解をするときで考えればいいのですか? 途中式を含めて解説をお願いします><

  • 約数の総和

    600の正の整数は24個あり、それらの総和は(  )である。 この問題はどうやって解けばよいのでしょうか? 公式は知っているのですが、公式を使わないときかたがあればそれを教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

  • 場合の数、順列 について

    高校数学Aの問題です。 (1)整数700の約数の中で正の数でかつ偶数であるものの個数と、それらの総和を求めなさい。 という問題なのですが、まず約数と出てきた時点で素因数分解をしてみたのですが、その後どのように考えればよいのかわかりません。(答えはありますが、後ほど掲載させてください。) 考え方のポイントを具体的に教えてくださるとうれしいです。どうかよろしくお願いします。

  • 数A(さっきの問題と同様、先ほどのはしめきります

    数Aの問題 1800の正の約数(1を含む)は、全部で〔〕個ある 〔〕の中に数字をいれよ まず1800を素因数分解して、2^3×3^2×5^2 2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り 4*3*3=36個 と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか 普通、足し算ではないんでしょうか。 後、2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り はわかるのですが、2も0で3も0で5も0だと× ならなぜ、2^2のときは、3^2(悪魔で例)などとしないんでしょうか そもそもなぜ素因数分解して得たもので約数がわかるのでしょうか 根本的なおころがわからないんで、最初から丁寧に おしえていただきたいです

  • 2592の正の約数の個数と、その総和を求めよ.

    2592の正の約数の個数と、その総和を求めよ.

専門家に質問してみよう