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高校数学I、約数の個数についてです
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Mの約数は 2^x×3^y (x,yは整数で0≦x≦a,0≦y≦b) とあらわせます。 xは0,1,...,aのa+1通り、yは0,1,...,bのb+1通りありますのでその組み合わせは (a+1)(b+1)通り あります。 同様にNの約数の個数は (c+1)(d+1)通り あります。 M.Nの両方の約数(公約数)は全てM.Nの最大公約数の約数になります。 二つの数x,yのうち、大きくないほうの数をmin(x,y)とするとN,Mの最大公約数は 2~min(a,c)×3^min(b,d) となります。a≧cであることからmin(a,c)=c、上記と同様に最大公約数の約数の個数は (c+1)(min(b,d)+1)通り となります。 題意より (a+1)(b+1)=80 (c+1)(d+1)=72 (c+1)(min(b,d)+1)=45 となります。 c+1は72と45の公約数ですので考えられる数としては 1,3,9 しかありえません。 また、min(b,d)=dとすると2番目の式と3番目の式で矛盾が生じますのでmin(b,d)=b よって (c+1)(b+1)=45 となります。 上と同様な議論でb+1は 1.5 しかありえません。 c+1=1or3or9,b+1=1or5 となりますが、このうち掛け合わせて45になるものは一組だけです。 以下略。
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- さゆみ（@sayumi0570）
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（a+1)(b+1)=80 (c+1)(d+1)=72 (c+1)(b+1)=45 a=15 ｂ＝４ ｃ＝８ ｄ＝７
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