約数の個数と公倍数の個数から元の数を求める

質問

a,b,c,d を自然数とし　a＞＝ｃ　とする。ｍ＝２＾a３＾b　、ｎ＝２＾c３＾d　についてｍ、ｎの正の約数の個数が８０．７２でｍ、ｎの正の公約数の個数が４５であるという。a,b,c,d を求めなさい。

という問題なのですが、（a+1)(b+1)=80 (c+1)(d+1)=72 まで分かるのですがそれ以降がまったく思いつきません。どなたか、公約数の数とどう絡むのか、お教え下さい。お願いします。

PS　ちなみみ＾a としているのは２のa乗の意味です。

回答No.1

debut · ベストアンサー

ｍ、ｎの公約数はｍ、ｎの最大公約数の約数ですよね。
a=cとすると、最大公約数がｍかｎのどちらかになって、
公約数の個数が80か72になるので不適。
よって、a>=cだったので2^cが最大公約数に含まれることが
わかります。
そして、b>dでは最大公約数に3^dが含まれてしまい最大
公約数が2^c*3^d、つまりｎになるのでこれも不適。

以上から、最大公約数は　2^c*3^bとなります。
約数の個数から、(c+1)(b+1)=45
これを変形して、b+1=45/(c+1)とすれば、b,cが自然数なので
c+1は3,5,9,15のどれかになります。

そして、(c+1)(d+1)=72をみれば　c+1は72の約数でもなければ
ならないので、c+1=3,9と限定されます。
c+1=3のとき、b+1=15。ところが(a+1)(b+1)=80から不適。
よって、c+1=9。あとはいもづるしきに求められます。

お礼

早速ありがとうございました。
1行目が引っかかっていました。
ご丁寧なアドバイスありがとうございました。