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約数の個数と公倍数の個数から元の数を求める

a,b,c,d を自然数とし a>=c とする。m=2^a3^b 、n=2^c3^d についてm、nの正の約数の個数が80.72でm、nの正の公約数の個数が45であるという。a,b,c,d を求めなさい。 という問題なのですが、(a+1)(b+1)=80 (c+1)(d+1)=72 まで分かるのですがそれ以降がまったく思いつきません。どなたか、公約数の数とどう絡むのか、お教え下さい。お願いします。 PS ちなみみ^a としているのは2のa乗の意味です。

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m、nの公約数はm、nの最大公約数の約数ですよね。 a=cとすると、最大公約数がmかnのどちらかになって、 公約数の個数が80か72になるので不適。 よって、a>=cだったので2^cが最大公約数に含まれることが わかります。 そして、b>dでは最大公約数に3^dが含まれてしまい最大 公約数が2^c*3^d、つまりnになるのでこれも不適。 以上から、最大公約数は 2^c*3^bとなります。 約数の個数から、(c+1)(b+1)=45 これを変形して、b+1=45/(c+1)とすれば、b,cが自然数なので c+1は3,5,9,15のどれかになります。 そして、(c+1)(d+1)=72をみれば c+1は72の約数でもなければ ならないので、c+1=3,9と限定されます。 c+1=3のとき、b+1=15。ところが(a+1)(b+1)=80から不適。 よって、c+1=9。あとはいもづるしきに求められます。

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質問者からのお礼

早速ありがとうございました。 1行目が引っかかっていました。 ご丁寧なアドバイスありがとうございました。

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