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数列の問題
nを自然数とする。３＾ｎのすべての正の約数の和が３２８０になるときｎの値を求めよ。この問題がわからないのですが、３＾ｎの約数からどのようにして数列にすればよいのかわかりません。だれか教えてください。答えはｎ＝７です。どうやって和を求めたのでしょうか？
- attest07251
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３＾ｎの約数は、1, 3＾1 ,3＾2, 3＾3 ・・・・３＾ｎ になります。 そうすると、1以外を除いてみると、等比数列になっていることが分かります。 等比数列の和の公式【初項(公比＾項数-1)/公比-1】 を適用すると、 1 + 3×(3＾n - 1)/(3-1) = 3280 になります。 (3＾(n+1) - 3 )/ 2 = 3279 3＾(n+1) - 3 = 6558 3＾(n+1) = 6561 n + 1 = 8 n = 7 になります。 等比数列の和の公式の説明は教科書にのっていると思います。
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- Nickee
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>ｎに１を代入すると３となって３の約数は１と３だから第>１項は１と３になって、ｎに２を代入すると９になって９>の約数は１と３と９だから第２項は１と３と９になる。こ>のように項を決定することはできないのですか？ いわれている項の意味がよくわからないのですが， たとえば， n=1 3 → 1, 3 n=2 9 → 1,3,9 n=3 27 → 1,3,9,27 ・・・・ と３＾ｎの約数は，1を除いて，nになるまでの3の乗数になっていることがわかります。 なので，3の約数は→1, 3＾1 ,3＾2, 3＾3 ・・・・３＾ｎになると思います。
お礼
有難うございました
- hotarana
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ヒントです。 3^nの全ての正の約数を小さい方から順に並べると、 １、３、３＾２、３＾３、…、３＾（n-1）、３＾n つまり初項１、公比３の等比数列です。 ３＾nの全ての正の約数の和は １+３+３＾２+３＾３+…+３＾（n-1）+３＾n です。 あとは頑張って下さい。
お礼
有難うございました
補足
質問なんですが、ｎに１を代入すると３となって３の約数は１と３だから第１項は１と３になって、ｎに２を代入すると９になって９の約数は１と３と９だから第２項は１と３と９になる。このように項を決定することはできないのですか？先に述べられた１、３、３＾２、３＾３、…、３＾（n-1）、３＾n というのはどのように並べたのですか？
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