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数列の問題について質問です
p,qを素数、rを1と異なる正の数とする。数列{An}は初項A1=-p、公差qの通差数列であり。 {An}の初項からn項までの和をSnとするとき、S12=0を満たす。 また、数列{Bn}について、B7+B8=10が成り立ち、logr(Bn)=An(n=1,2,3,…)を満たす pとqの値を求めよという問題なのですが、どのように求めていいかわかりません。 詳しいやり方を教えてもらえると嬉しいです
- wretrthrjkl
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rを正の整数とします. A_n=-p+(n-1)q ∴S_n=(1/2)n(-2p+(n-1)q) S_{12}=6(-2p+11q)=0より q=2p/11 ∴B_n=r^{A_n}=r^{-p+(n-1)2p/11} =r^{(-11+2n-2)p/11}=r^{(2n-13)p/11} ∴B_7+B_8=r^{p/11}+r^{3p/11}=10 r^{p/11}=Rとおくと, (☆)r^p=R^{11} また R+R^3=10 R^3+R-10=(R-2)(R^2+2R+5)=(R-2){(R-1)^2+4}=0 ∴R=2 ☆に代入して r^p=2^11 これよりrは素因数2しかもたない.よってr=2^m(mは正の整数)とかけて 2^m=2^{11}∴m=11=p∴q=2p/11=2 (p,q)=(11,2)
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- alice_44
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S_12=0 から q=2p/11 を導いた時点で、 p,q 素数より (p,q)=(11,2) に決まる。 以降は、十分性の確認のみでよい。
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