数列の問題です

質問

２の倍数でも3の倍数でもない正の整数を、小さい方から順に並べてできる数列を｛ａｎ｝とする。
(1)ａ11を求めよ
(2)ａN＝187となる正の整数Nの値を求めよ。またこのときのNの値に対して、数列｛ａｎ｝の初項から第Ｎ項までの和を求めよ。ちなみに答えは(1)は3１で、(2)がＮが63、和が5953です。(1)はわかったのですが(2)の解法が、わかりません。どなた教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

maiko0318 · ベストアンサー

では、２を

187までの187個の数字から2の倍数の個数を引き、3の倍数の個数を引き、
6の倍数の個数を足せばいいんじゃないかな。

187までの187個の数字の計から2の倍数の計を引き、3の倍数の計を引き、
6の倍数の計を足せばいいんじゃないかな。

お礼

今教えていただいたとおりやってみました。解けました。これは高3の模試の問題なのですが、解答を見てもわからず困っていたところでした。教えていただいた解き方はすごくわかりやすく、よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

nob_khara

正直、私には(1)を上手く応用して(2)を解く方法がわかりませんでした。愚直に正攻法でいきます。

2の倍数でも、3の倍数でもない数は、"6n-1"と"6n-5"です（6で割って、0か2か3か4があまりではないことが条件のため）。これを数学的帰納法によって明らかにします。

a(2n-1)=6n-5 a(2n)=6n-1とすると、a1=1, a2=5です。

n=kの時、a(2k-1)=6k-5 a(2k)=6k-1と仮定すると、

n=k+1の時、a(2k+1)=6k+1=6(k+1)-5 a(2k+2)=6k+5=6(k+1)-1となります。

よって、a(2n-1)=6n-5 a(2n)=6n-1は正しいことになります。ここから、a11=a(2*6-1)=6*6-5=31。

187=6*31+1=6*32-5なので、N=2*32-1=63

{an}のn=1からn=62までの和は、a(2n-1)+a(2n)=12n-6の、n=1からn=31までの和に等しくなります。それに、187を足せば、答えが出ます。

ポイントは、kの倍数ではない数を、nk+m（nとmは自然数、m<k）で表すという発想に至れるかどうかと、数学的帰納法を用いた証明とΣの基礎ができているかどうかだと思います。これらの中のどれかが不足しているとお思いなら、復習をおすすめします。

お礼

ご回答ありがとうございます。回答していただいたやり方はまさにわたしが見てわからなかった模試の模範解答でした。もう少し復習をしたいと思います。アドバイスと丁寧なご解答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

(1) はわかったんだよね?

どう考えたの?