数列の問題

質問

こんばんは。タイトルのとおり数列の問題です。

（１）初項１、公比２の等比数列がある。この数列の第５項までの和をａ1、第６項から第１０項までの和をａ2、第１１項から第１５項までの和をａ3とし、以下同様にして数列ａ1、ａ2、ａ3、・・・、ａn、・・・をつくる。
問１、一般項を求めよ。
問２、ａｎが１０の６乗をはじめてこえるときのｎの値

（２）１から始まる奇数列を、次のように第ｎ群が２ｎ個の数を含むように区分する。
｜1，3｜5，7，9，11｜13，15，17，19，21，23｜25・・
問１、第ｎ群の最初の数を求めよ。
問２、第ｎ群に属するすべての数の和を求めよ。

（３）次の漸化式を解き、一般項ａｎを求めよ。
　　　ａ1＝１、ａｎ＋1＝２ａｎ＋３

考えても全然わからないんで助けてください。よろしくおねがいします。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

＃２です。
ONEONEさん、ご指摘ありがとうございます！！

＞x^2=2x+3
＞x^2-2x-3=0
＞という方程式を解くと、
＞は３項間漸化式の特性方程式ではないのでしょうか？

そうでした。大変申し訳ございません。
恥ずかしいですね・・たまたま答えが３で一緒になっただけでした。

＞x^2-2x-3=0
という方程式を解くと、
(x-3)(x+1)=0
x=3,-1
となりますが、これを利用します。

basukebakajkenjiさん、大変申し訳ありませんが
上の部分は、カットして考えてください！！

＞a[n+1]=2a[n]+3
この両辺に３を加えると
a[n+1]+3=2a[n]+6=2(a[n]+3)=2*2(a[n-1]+3)=
・・・=2^n(a[1]+3)

・・・というやり方は、そのまま使ってください。
非常に申し訳ありませんが、訂正させていただきます。
分からないところがあれば、補足いただけるとまた参上しますので
よろしくお願いしますね！！

回答No.4

ONEONE

ところでfushigichanさんの回答の

＞x^2=2x+3
＞x^2-2x-3=0
＞という方程式を解くと、

は３項間漸化式の特性方程式ではないのでしょうか？

回答No.3

ONEONE

(2)
郡の最初の項がどういう数列になっているかを見ても良いかと思います。
１郡は１、２郡は５、３郡は１３、４郡は２５・・・
１、５、１３、２５・・・
　Ｖ　 Ｖ　 Ｖ　
　４　 ８ 　12・・・
と階差数列型になっていますから
第ｎ群の最初の数をa[n]とおくとこの階差数列の一般項が答えになります。

最後にn=1、n=2で確かめてみると良いかも。

回答No.2

fushigichan

baskebakakenjiさん、こんにちは。
解法のポイントというか、ヒントです。

＞（１）初項１、公比２の等比数列がある。この数列の第５項までの和をａ1、第６項から第１０項までの和をａ2、第１１項から第１５項までの和をａ3とし、以下同様にして数列ａ1、ａ2、ａ3、・・・、ａn、・・・をつくる。

問い１。これ、実際に、どういう数列になっているか？？と考えてみたほうがいいですね。

まず、初項１、公比２の等比数列の一般項は
1*2^(n-1)=2^(n-1)
ですね。

さて、
a1=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4
a2=2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=2^5(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4
)
a3=2^10+2^11+2^12+2^13+2^14=2^10(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)
・・・・
となっていくので、{an}は、初項(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)
公比2^5の等比数列になりそうだな・・と予測できますよね？
2^0+2^1+2^2+2^3+2^4=(2^5-1)/(2-1)=2^5-1
を使えば、式はもうちょっと簡単になりますよ。

問い２　これは、１で求めた一般項に対して

{an}の一般項＞１０＾６

となるようなｎを求めればよいですね。

＞（２）１から始まる奇数列を、次のように第ｎ群が２ｎ個の数を含むように区分する。
｜1，3｜5，7，9，11｜13，15，17，19，21，23｜25・・

まず、上の数列をじーっと見ると、
区切りによる第ｎ群は、項の数は２個、４個、６個・・・
と、2n個の項が入っていることが分かります。
さて、全体を見ると、ずらっと並んでいるのは、全部奇数であることも分かります。

問い1　第ｎ群の最初の項は、最初から数えて何番目でしょうか？
第１群～第(n-1)群までの項数の総和＋１項目ですよね。
第１群～第(n-1)群までの項数の総和は、
第n群に入っている項数が、2n個であることから求められると思います。
あとは、最初から○番目と分かれば
奇数の○番目を求めればよいですね。

問い２　第n群の先頭バッターが分かりましたので、
あとは、それから始まる奇数n個の和、でいけると思います。

計算、ややこしそうですが、落ち着いて頑張ってみてください。

＞（３）次の漸化式を解き、一般項ａｎを求めよ。
　　　ａ1＝１、ａｎ＋1＝２ａｎ＋３

これは、やり方を覚えておけば、簡単！！

a[n+1]=2a[n]+3

x^2=2x+3
x^2-2x-3=0
という方程式を解くと、
(x-3)(x+1)=0
x=3,-1
となりますが、これを利用します。

a[n+1]=2a[n]+3
この両辺に３を加えると
a[n+1]+3=2a[n]+6=2(a[n]+3)=2*2(a[n-1]+3)=
・・・=2^n(a[1]+3)
のように変形できますよね。これはa[n+1]ですので

a[n]+3=2^(n-1)(a[1]+3)
ここで、a[1]は出ていますから、a[n]は求められると思います。

３題とも、非常に難しいと思います。入試の２次試験でも出るレベルではないでしょうか。
しかし、やり方さえマスターすればオーソドックスな方法で解くことができますから
よく教科書・参考書の解法を見て、学んでください。
頑張ってください。

回答No.1

kony0

いずれも、答えを書くのは簡単だけど、答えを書いても質問者のためにはならないと思っています。ヒントだけ。

(1)ヒント：a[n]は「初項１、公比２の等比数列」の第（　）項～第（　）項の和である。・・・括弧内にあてはまるものをｎの式で書いてみましょう。

ヒントのヒント：
a[1]は等比数列の第１項～第５項の和
a[2]は等比数列の第６項～第10項の和
a[3]は等比数列の第11項～第15項の和
・・・てな感じで、上の穴埋めを考えましょう。

ここからは解いてください。あとは計算だけです。

(2)第ｎ群の最初の数は、数列の第何項目かであるかを、「第（ｎ－１）群の最後が数列の第何項目であるかに着目して」考えましょう。

群数列は、上記「」の考え方が重要ですよね？（これをポイントと認識しているかが重要）

(3)「特性方程式」x=2x+3の解はx=-3より(a[n+1]+3)=2(a[n]+3)と式変形できる。（この式変形は重要！キーワードは特性方程式。）
a[n]+3=b[n]とおくと・・・b[n]が等比数列であることを理解しましょう。（なるほど～と思えたら「勝ち」）←この考えにいきつくための「特性方程式」を用いた式変形なのです！

この問題は、教科書で取り扱うレベルなのかどうなのかよくわかりませんが、適当な数学の参考書を読み漁って、理解してください。ポイントは上記のとおり。あとは計算だけ。