数列の問題

質問

数列1, 1, 3/4, 1/2, ・・・・の一般項は公比が1/2の等比数列と等差数列の積である

初項から第n項までの和を求めよ。

という問題の答えをよろしくお願いします。

途中式などは書かなくても大丈夫です！

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

気持ち悪いので途中式も書きます。
この数列が

　(1)　　1/1, 2/2, 3/4, 4/8, …

であると考えれば一般項は

　(2)　　an = n * (1/2)^(n-1)

となります。これの第 n 項までの和を Sn とすると

　(3)　　Sn = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + … + n * (1/2)^(n-1)

です。また、Sn を 1/2 倍したものは

　(4)　　(1/2) Sn = 1/2 + 2/4 + 3/8 + … + (n-1) * (1/2)^(n-1) + n * (1/2)^n

となりますから、(3)式から(4)式を引くと

　(5)　　Sn - (1/2)Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)^(n-1) - n * (1/2)^n
　　　　　　　　　　　　= Σ [k = 1→n] (1/2)^(k-1) - n/2^n
　　　　　　　　　　　　= 2 ( 1 - 1/2^n ) - n/2^n
　　　　　　　　　　　　= 2 - (n+2) / 2^n

　　　　　　　　　∴ Sn = 4 - (n+2) / 2^(n-1)

お礼

ありがとうございました！