等比数列の初項と公比の求め方を教えてください！

質問

高校数学Ｂの等比数列の問題がわかりません。

＜問題＞　初項と第２項の和が３、初項から第４項までの和が５１である等比数列の初項と公比を求めよ。

答えが２組あるようです。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

初項をa、公比をrとおく。このとき、与えられた条件と等比数列の和の公式より、
{a(r^2-1)}/(r-1)=3 …… (1)
{a(r^4-1)}/(r-1)=51 …… (2)

(2)を変形して
{a(r^2+1)(r^2-1)}/(r-1)=51 …… (3)

(3)÷(1)より
r^2+1=17
∴r=±4

r=4を(1)に代入して
15a/3=3
∴a=3/5
このとき、等比数列の一般項は(3/5)・4^(n-1) …… (4)

r=-4を(1)に代入して
-15a/5=3
∴a=-1
このとき、等比数列の一般項は(-1)・(-4)^(n-1) …… (5)

【検算】
(4)の場合、
初項=3/5、第2項=12/5、第3項=48/5、第4項=192/5なので、
初項+第2項=15/5=3
初項～第4項の和=255/5=51

(5)の場合、
初項=-1、第2項=4、第3項=-16、第4項=64なので、
初項+第2項=-1+4=3
初項～第4項の和=-1+4-16+64=51

お礼

等比数列の和の公式で解くとわかりやすいですね。
すっきりと納得できました。ありがとうございました！

回答No.2

tyukadon

できた！

初項をA1、公比をｒとします。

初項(A1)と第二項(A2)の和が３
⇔A1+A2=3・・・(1)と置く

初項から第４項までの和が５１
⇔A1+A2+A3+A4=51・・・(2)と置く

(2)
⇔（A1+A2）+(A3+A4)=51
⇔公比数列はAn=A1xr(n-1)乗と表せるので
A3+A4=A1xrxr + A2xrxr=rxrx(A1+A2) と変換できる

(2)⇔（A1+A2）+(A3+A4)=(3)+rxrx(3)=51
⇔ｒ二乗=16
⇔ｒ=+4、-4

１）ｒ＝+4の時
(1)⇔A1+(4)xA1=3
⇔A1＝3/5

2)r=-4の時
(1)⇔A1+(-4)A1=3
⇔-3・A1＝３
⇔A1＝－１

になりました。

お礼

ｒ二乗が-4もあったことをうっかりわすれていました。ありがとうございました。