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数IIBの数列の漸化式の問題です。

数IIBの数列の漸化式の問題です。 本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 1. 数列1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25,・・・・・・がある。 この数列の第100項および初項から第100項までの和を求めよ。 2 数列1,2,3,・・・・・,nにおいて次の積の和を求めよ。 (1)異なる2つの項の積の和(n≧2) (2)互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和(n≧3) 3 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 (1)A1=1 An+1=9-2An (2)A1=1 An+1=4An+3 4 数列{An}の初項から第n項までの和SnがSn=n-Anであるとき、a1,a2,a3および{An}の一般項を求めよ。

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  • 回答No.5

3を説明します。前回言い忘れましたが、掛け算は*、累乗は^であらわしています。また乗数n-1などは-1が紛らわしく見えるため( )に入れておきます。 これは漸化式から数列の一般項を求める問題ですね。 (1)A1=1 An+1=9-2An   まず漸化式 An+1=9-2An を An+1=-2(An-9) の形に書き換えます。  この式から、An+1-k=-2(An-k) であると言えますね。  展開して An+1=-2(An-k)+k An+1=-2An+3k 与えられた漸化式がAn+1=9-2An つまり An+1=-2An+9 ですから An+1=-2An+9=-2An+3k から 3k=9 従って k=3 です。 これをAn+1-k=-2(An-k) に代入すると An+1-3=-2(An-3) {An-3}={Bn}とおくと Bn+1=-2Bn (これはAn+1-3をBn+1 -2(An-3)を-2Bnに置き換えただけです。) よって、{Bn}はBn= An-3、A1=1 よりB1=1-3=-2=初項A 公比r=-2の等比数列ですから、等比数列の公式 An=a*r^(n-1)  Bn=-2*(-2)^(n-1) ここで初項と公比がともに-2ですので初項を書く代わりに乗数を(n-1)+1=nとして Bn=(-2)^n となります。 {An-3}={Bn}ですから An=Bn+3 したがって An=(-2)^n+3 が答えです。 (2)A1=1 An+1=4An+3  (1)と考え方は同じです。An+1 + k =4(An +k) とおくと An+1=4An + 3k , An+1=4An+3 より k=1 An+1 + k =4(An +k) に k=1 を代入して An+1 + 1 =4(An +1) {An +1}={Bn} とおくと Bn+1=4Bn よって、{Bn}は B1=1+1=2(初項) 公比r=4 の等比数列であるから 公式An=A*r^(n-1)より Bn=2*4^(n-1) これを An +1=Bn を変形した An =Bn-1 に代入すると An =2*4^(n-1)-1 が一般項と解ります。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4

1を説明します。すでに他の方が指摘されている通り、これは漸化式の問題ではなく群数列の問題です。(漸化式とはAnとAn+1の関係を表す式のことです。) この数列は右のような群に分けられます。 1/1,4/1,4,9/1,4,9,16/1,4,9,16,25/・・・・・・ 順番に第1群、第2群、第3群、第4群、第5群 ・・・と名づけると、群の数と、その群の中の項数が一致していますね。 つまり、第n群にはn個の項があるということです。このことから、第1群から第n群までの項数の和は、 1+2+3+4+5+・・・・+n=Σ{k=1 n}k=n(n+1)/2 となるのは公式通りですよね。 ここで第100項が第n群にあるとしましょう。式で表せば 100=<n(n+1)/2 ですね。 nを求めやすいように両辺を2倍して 200=<n(n+1) として、当てはまりそうな数を入れてみましょう。 まず13を代入すると 13*(13+1)=13*14=182 ちょっと足りませんでしたので次に14を代入すると 14*(14+1)=14*15=210 で、 200=<n(n+1) が成立しました。つまり、第100項は第14群の中にあるということです。 第1群から第13群までの全項数は 1/2*13*14=91 より、91項あることがわかります。 従って、第100項は第14群中100-91=9で9番目の項です。 各項の数字は、群の中での項数の2乗(例:第5群 1(1^2),4(2^2),9(3^2),16(4^2),25(5^2))ですから、第100項は 9^2=81 なので81です。 次に初項から100項までの和を求めましょう。第1群から第13群までの項の和は、Σ{k=1 13}k^2 で求められますね。 公式Σ{k=1 n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6 =n^3/3+n^2/2+n/6 ですから、Σ{k=1 13}{n^3/3+n^2/2+n/6} =1/3Σ{k=1 13}n^3+1/2Σ{k=1 13}n^2+1/6Σ{k=1 13}n =1/3{n(n+1)/2}^2+1/2*n(n+1)(2n+1)/6+1/6*n(n+1)/2 =1/3(13*14/2)^2+1/2(13*14*27)/6+1/6(13*14/2) =33124/3*4+4914/2*6+182/12=38220/12=3185 第14群の第1項から第9項までの和は Σ{k=1 9}k^2=9*10*19/6  (←公式n(n+1)(2n+1)/6のnに9を代入して計算) =285 3185+285=3470 というわけで、答:第100項=81  初項から第100項までの和=3470となります。

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  • 回答No.3

こんばんわ。 >本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 正直、基礎(基本)の形で解けるのは 3だけです。 1は、群数列の問題 2は、Σ記号を使いこなす問題(少し工夫が必要) 4は、数列の和と数学的帰納法 or 漸化式の問題(3に近い問題) 数列は「規則性の問題」ですから、 1や2はどのような規則性があるかをまず考えてみてください。

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  • 回答No.2

1】 一般的に考えれば、 1, 1,4, 1,4,9, 1,4,9,16, 1,4,9,16,25, で、2乗の並びの並びになってるから、以下 1,4,9,16,25,36, と続き、これを百個書けばよい。 和は、縦の数が同じだから、少し考えれば簡単に計算できる。 外道な考えだと、25の後全部0だとして、100項 = 0、和は、25までの和。 2】 (1) まず、2つの項の積の和から、同じ項の積の和を引く S = (1+2+ ... n)^2 - (1^2 + 2^2 + ... + n^2) 1・2と2・1など、重複しているので2で割って、S/2 (2) (1)を用いる S/2から、隣り合う項の積の和を引く T = S/2 - (1・2 + 2・3 + ... + (n-1)・n) T に同じ項の和を足す T + (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) 3】 教科書か参考書に解き方載ってるはずです。 それのどの部分が分からないを質問してね。 4】 A(n+1) = S(n+1) - S(n) = (n+1) - A(n+1) - n +A(n) だから 2A(n+1) = A(n) + 1 あとは3】と同じ

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  • 回答No.1
noname#116057
noname#116057

3のみ回答します。(1)(2)とも特性方程式型です。 (1)はa[n+1]-3=-2(a[n]-3)と変形できるので, 数列{a[n+1]-3}は初項a[1]-3=-2,公比-2の等比数列であることが分かります。 (2)も同様にやってみてください。

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