• ベストアンサー
  • 困ってます

数列

数列anの初項a1から第n項anまでの和をSnと表す。a1=1,an≠0であり、an=4Sn^2 – SnSn-1 – 3Sn-1^2 (n=2,3,…)を満たすとき、一般項anはan=(1)×(2)^(n-1) (n≧2),1(n=1)となる。 (1)(2)を求めよ。 よろしくお願いします。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。
noname#249855
noname#249855

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1924/5809)

さっきみたいなめんどくさいことしなくても、 a[n] = 4S[n]^2 - S[n]S[n-1] - 3S[n-1]^2 = (S[n] - S[n-1])(4S[n] + 3S[n-1]) と因数分解できることを手がかりとする方がよさげな気がします。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。因数分解までは行けてたのですが、それ以降の処理で何らかの間違いをしていたようです。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

重要なことですが、自分でどこまで考えたのですか? ”丸投げ”では何の意味もありません。 -------------- 与えられた漸化式をよくよく見て、右辺が因数分解できることをまずつかみます。 a[n]=(S[n] - S[n-1])*(4*S[n] + 3*S[n-1]). ここで、右辺第一因数は a[n] のことであり、a[n]≠0 ゆえ、上式は、 4*S[n]+3*S[n-1] = 1.(2≦n) となります。これから S[n]を求め、さらに a[n]の式を「自分で」計算してください。 --------- 結果は、a[n]=2*(-3/4)^(n-1), (2≦n) です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。因数分解までは行けてたのですが、それ以降の処理で正負の間違いをしていたようです。

  • 回答No.2
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1924/5809)

>分子は初項-3, 公比-3の等比数列 >分母は初項2, 公比4の等比数列 >と推測できます。 ここは、分子・分母をまとめて、 初項-3/2, 公比-3/4とする方がよいでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1924/5809)

S[1] = a[1] = 1 a[2] = 4S[2]^2 - S[2] - 3 = 4(a[1] + a[2])^2 - a[1] - a[2] - 3 = 4(1 + a[2])^2 - 1 - a[2] - 3 = 7a[2] + 4a[2]^2 4a[2]^2 + 6a[2] = 0, a[2] ≠ 0よりa[2] = -3/2 S[2] = S[1] + a[2] = -1/2 a[3] = 4S[3]^2 - S[3]S[2] - 3S[2]^2 = 4S[3]^2 + S[3]/2 - 3/4 S[3] = S[2] + a[3] = -1/2 + a[3] a[3] = 4(-1/2 + a[3])^2 + (-1/2 + a[3])/2 - 3/4 = -4a[3] + 4a[3]^2 + a[3]/2 = 4a[3]^2 - 7a[3]/2 4a[3]^2 - 9a[3]/2 = 0, a[3] ≠ 0よりa[3] = 9/8 S[3] = S[2] + a[3] = 5/8 a[4] = 4S[4]^2 - S[4]S[3] - 3S[3]^2 = 4S[4]^2 - 5S[4]/8 - 75/64 S[4] = S[3] + a[4] = 5/8 + a[4] a[4] = 4(5/8 + a[4])^2 - 5(5/8 + a[4])/8 - 75/64 = 5a[4] + 4a[4]^2 - 5a[4]/8 = 4a[4]^2 + 35a[4]/8 4a[4]^2 + 27a[4]/8 = 0 a[4] ≠ 0よりa[4] = -27/32 なんとなく、規則性が見えてきました。 a[2], a[3], a[4]について、 それらの分子 = -3, 9, -27 それらの分母 = 2, 8, 32 ですから、 分子は初項-3, 公比-3の等比数列 分母は初項2, 公比4の等比数列 と推測できます。 あとは数学的帰納法あたりを使えば、この推測が正しいかどうかが わかるでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 数列

    数列{An}の初項A1から第n項Anまでの和をSnと表す。 この数列がA1=0、A2=1、(n-1)^2=Sn(n≧1)を満たすとき、一般項Anを求めよ。 n≧2のとき An=Sn-Sn-1=… とやっていったのですが、An=0 と変なことになってしまいました。 解答のヒントでもよいので、よろしくお願いします。

  • 数列

    数列a1,a2,……,anがa1=2,an+1=3an+8(n=1,2,3,……)を満たしているとき (1)一般項anをnで表せ。 (2)初項から第n項までの和Snをnで表せ。 解答 (1)an=2*3^n-4 (2)Sn=3^n+1-4n-3 階差数列を使ったらよさそうなのは分かりますが、 いまいちピンときません。 途中式含めて解説をよろしくお願いします。

  • 数列

    数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=n^2+1(n=1,2,3,……)で表されるとき (1)a10+a11+…+a20を求めよ。 (2)一般項anを求めよ。 解答 (1)319 (2)a1=2, an=2n-1(n≧2) an=Sn - Sn-1という公式を使えばいいんですか? 途中式含めて教えてもらえたら助かります! よろしくお願いします。

  • 数列

    次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 1,1+2,1+2+3,・・・・・ (解)与えられた数列の一般項をAn,求める和をSnとすると, An=1+2+3+・・・・+n=1/2n(n+1) と解の途中まではこうなっているんですが、Anがなぜこうなるのかわかりません。私はAn=1+3+6+・・・と思ったんですが・・・

  • 数列の問題が分かりません

    数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=-7+2n-an(n≧1)で表されている。 (1)初項a1を求めよ。 (2)anとan+1のみたす関係式を求めよ。 (3)anをnで表せ。

  • 数列

    数列{an}の初項から題n項までの和をSnとしたとき、一般項anを求める方法を考えると Snというのは Sn=a1+a2+a3+a4+a5+・・・+an-1+anですよね。 一般項を考えると Sn-1+an=Snとなります。 an=Sn-Sn-1 となることはわかりました。 しかし Sn-1が意味を持つのはn≧2のときであるとあると書いてあります。どういうことをいっているのですか?

  • 漸化式と数列

    数列a1,a2,......anが a1=2, an+1=3an+8(n=1,2,3,......)を満たしている時 (1) 一般項anをnであらわせ (2) 初項から第n項までの和をSnであらわせです 考え方を教えてください ちなみに答えは an=2/3^n -4 Sn=3^n+1  -4n-3です

  • 高2の数学で数列がわかりません

    数学の問題です。 数列2/3,2/5.4/5,2/7,4/7,6/7,2/9,4/9,6/9,8/9,2/11・・・・・において (1)4/15はこの数列の第何項か。 (2)この数列の第100項の数は何か。 a1=4,an+1=3an+2^3(n=1,2,3,・・・・)で定めらた数列 {an}の一般項を求めよ。 次の数列の和を求めよ。 (1)1・n+2・(n-1)+3・(n-2)+・・・・・+n・1 (2)7+77+777+7777+・・・・・・+777・・・77 777+77はn個とする 次の和を求めよ。 (1)n Σ1/(2k-1)(2k+1) k=1 (2)n Σ1/k(k+1)(k+2) k=1 a1=5,an+1=2an-3n+4(n-1,2,3,・・・・・・)で定められた数列{an}の一般項を求めよ。 a1=1,a2=1,an+2-an+1-2an=0(n=1,2,3,・・・・・)で定められた数列{an}の一般項を求めよ。 数列{an}の初項から第n項までの和Snが3Sn=4an-3N-1(n=1,2,3,・・・・・)を満たすとき (1)初項a1を求めよ。 (2)一般項anおよび和Snを求めよ。 数列11,1001,100001,10000001,・・・・・について (1)この数列の一般項anを求めよ。 (2)この数列の項はすべて11の倍数であることを証明せよ。 宿題ですが数列が全くわかりません。どうかお願いいたします。

  • 数IIBの数列の漸化式の問題です。

    数IIBの数列の漸化式の問題です。 本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 1. 数列1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25,・・・・・・がある。 この数列の第100項および初項から第100項までの和を求めよ。 2 数列1,2,3,・・・・・,nにおいて次の積の和を求めよ。 (1)異なる2つの項の積の和(n≧2) (2)互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和(n≧3) 3 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 (1)A1=1 An+1=9-2An (2)A1=1 An+1=4An+3 4 数列{An}の初項から第n項までの和SnがSn=n-Anであるとき、a1,a2,a3および{An}の一般項を求めよ。

  • 数列について

    数列{an}の初項から第n項までの和がSnが、Sn=2an-3N+1(n=1.2.3....)を満たす。 (1) a1を求めよ。 (2)an,Snをnの式で表せ。 宜しくお願いします。 (n=n項目を示す)