• ベストアンサー
  • 困ってます

数列の問題です

数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。 (1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時(i)一般項an(ii)Σ(k=1~n)kakの値(iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値 (2)Sn=3an+4n+2が成り立つ時(i)a1の値(ii)an+1をan表わせ(iii)一般項anを求めよ 上の2つの問題の答えをどなたか教えてください。 特に(1)は解答の過程も教えていただけると幸いです。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.5
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

No.3,No.4です。 引き続き(2)の回答 添字のn,kと整数変数のn,kを区別するため添字には[ ]を付けることにします。 (2) S[n]=3a[n]+4n+2 (i)a[1] a[1]=S[1]=3a[1]+4+2 2a[1]=-6 a[1]=-3 ...(答) (ii) a[n+1]をa[n]表わせ a[n+1]=S[n+1]-S[n] ={3a[n+1]+4(n+1)+2}-{3a[n]+4n+2} =3a[n+1]-3a[n]+4 a[n+1]について解くと 2a[n+1]=3a[n]-4 ∴a[n+1]=(3/2)a[n]-2 ...(答) (iii)a[n]を求めよ a[n]=(3/2)a[n-1]-2 a[n}-p=(3/2)(a[n-1]-p) ...(★)とおくと a[n]=(3/2)a[n-1]+p-(3/2)p=(3/2)a[n-1]-(p/2) p/2=2 ∴p=4 (★)に代入 a[n]-4=(3/2){a[n-1]-4) ={(3/2)^2}{a[n-2]-4} ={(3/2)^3}{a[n-3]-4} …  ={(3/2)^(n-1)}{a[1]-4} ={(3/2)^(n-1)}(-3-4) =-7(3/2)^(n-1) ∴a[n]=4-7(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,…) ...(答)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

その他の回答 (7)

  • 回答No.8
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

No.1No.7です。改めて(2)を含めて回答します。 数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。 (1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時 (i)一般項an >an=Sn-Sn-1=(1/2)n^2+n-{(1/2)(n-1)^2+(n-1)}=n+1/2・・・答 (ii)Σ(k=1~n)kakの値 >Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)k(k+1/2)=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k =Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k =n(n+1)(2n+1)/6+(1/2)n(n+1)/2=n(n+1)(4n+5)/12・・・答 (iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値 >Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)だと勝手に解釈して Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)=Σ(k=1~n)1/{(k+1/2)(k+3/2)} =Σ(k=1~n){1/(k+1/2)-1/(k+3/2)} ={1/(1+1/2)-1/(1+3/2)}+{1/(2+1/2)-1/(2+3/2)}+{1/(3+1/2)-1/(3+3/2)} +・・・・・・・・・・・・+{1/(n+1/2)-1/(n+3/2)} ={2/(2+1)-2/(2+3)}+{2/(4+1)-2/(4+3)}+{2/(6+1)-2/(6+3)} +・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)} =(2/3-2/5)+(2/5-2/7)+(2/7-2/9)+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)} =2/3-2/(2n+3)=4n/(6n+9)・・・答 (2)Sn=3an+4n+2が成り立つ時 >紛らわしいのでSnをS[n]、anをa[n]と表します。 (i)a1の値 >S[1]=3a[1]+4*1+2=a[1]だからa[1]=-3・・・答 (ii)an+1をan表わせ >S[n]=3a[n]+4n+2 S[n+1]=3a[n+1]+4(n+1)+2 a[n+1]=S[n+1]-S[n]=3a[n+1]+4(n+1)+2-[3a[n]+4n+2] =3a[n+1]+4-3a[n]からa[n+1]=(3/2)a[n]-2・・・答 (iii)一般項anを求めよ a[n]=(3/2)a[n-1]-2 (3/2)a[n-1]=(3/2)^2a[n-2]-2*(3/2) (3/2)^2a[n-2]=(3/2)^3a[n-3]-2*(3/2)^2 (3/2)^3a[n-3]=(3/2)^4a[n-4]-2*(3/2)^3 (3/2)^4a[n-4]=(3/2)^5a[n-5]-2*(3/2)^4 ・・・・・・・・・・・・・ (3/2)^(n-2)a[2]=(3/2)^(n-1)a[1]-2*(3/2)^(n-2) 辺々加えて共通項を消去すると a[n]=-2-2*(3/2)-2*(3/2)^2-2*(3/2)^3・・・-2*(3/2)^(n-2)+(3/2)^(n-1)a[1] =-3*{1+(3/2)+(3/2)^2・・・+(3/2)^(n-3)}-3*(3/2)^(n-1) ={6-7*3^(n-1)}/2^(n-1)・・・答

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

  • 回答No.7
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

補足 Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+nです を見たので、取り敢えず(1)を回答します。 >数列anの初項から第n項まあでの和をSnとする。 (1)Sn=1/2n^2+nが成り立つ時 (i)一般項an >an=Sn-Sn-1=(1/2)n^2+n-{(1/2)(n-1)^2+(n-1)}=n+1/2・・・答 (ii)Σ(k=1~n)kakの値 >Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)k(k+1/2)=Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k =Σ(k=1~n)k^2+(1/2)Σ(k=1~n)k =n(n+1)(2n+1)/6+(1/2)n(n+1)/2=n(n+1)(4n+5)/12・・・答 (iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1の値 >Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)だと勝手に解釈して Σ(k=1~n)1/(ak*ak+1)=Σ(k=1~n)1/{(k+1/2)(k+3/2)} =Σ(k=1~n){1/(k+1/2)-1/(k+3/2)} ={1/(1+1/2)-1/(1+3/2)}+{1/(2+1/2)-1/(2+3/2)}+{1/(3+1/2)-1/(3+3/2)} +・・・・・・・・・・・・+{1/(n+1/2)-1/(n+3/2)} ={2/(2+1)-2/(2+3)}+{2/(4+1)-2/(4+3)}+{2/(6+1)-2/(6+3)} +・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)} =(2/3-2/5)+(2/5-2/7)+(2/7-2/9)+・・・・・・・・・・・・+{2/(2n+1)-2/(2n+3)} =2/3-2/(2n+3)=4n/(6n+9)・・・答

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

  • 回答No.6
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

No.3~5です。 ANo.4の補足質問の回答 平文での分数式の書き方の問題に過ぎません。 分子が 4n 分母が 3(2n+3) であれば合ってます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

補足回答ありがとうございました。

  • 回答No.4
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

No.3です。 (1)の訂正 ANo.3で(1)の訂正 (i) >a[n]= … =(1/2)(2n-1)+1=n-(1/2) ...(答) [訂正] a[n]= … =(1/2)(2n-1)+1=n+(1/2) or (2n+1)/2 ...(答) (ii) >Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k-(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 -(1/2)Σ(k=1,n) k >=(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n(n+1) >=n(n+1)(4n-1)/12 ...(答) [訂正] (ii) Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k+(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 +(1/2)Σ(k=1,n) k =(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/4)n(n+1) =n(n+1)(4n+51)/12 ...(答) (iii) >Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n-(1/2))(n+(/2))} >=Σ(k=1,n) {1/(n-(1/2)) -1/(n+(1/2))} >={2-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+ … +{1/(n-(1/2))-1/(n+(1/2))} >=2-1/(n+(1/2)) >=2-2/(2n+1) >=4n/(2n+1) ...(答) [訂正] Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n+(1/2))(n+(3/2))} =Σ(k=1,n) {1/(n+(1/2)) -1/(n+(3/2))} ={(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+{(2/7)-(2/9)}+ … +{1/(n+(1/2))-1/(n+(3/2))} =(2/3)-1/(n+(3/2)) =(2/3)-2/(2n+3) =(4/3)n/(2n+3) ...(答)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

(iii)の答えは4n/3(2n+3)でも合ってますか?

  • 回答No.3
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

添字のn,kと整数変数のn,kを区別するため添字には[ ]を付けることにします。 まず,(1)だけ (1) >S[n]=1/2n^2+n これは  S[n]=(1/2)n^2+n の意味ですか? そうだとして (i) a[n]=S[n]-S[n-1]=(1/2){n^2-(n-1)^2}+n-(n-1)=(1/2)(2n-1)+1=n-(1/2) ...(答) (ii) Σ(k=1,n) ka[k]=Σ(k=1,n) k{k-(1/2)}=Σ(k=1,n) k^2 -(1/2)Σ(k=1,n) k =(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n(n+1) =n(n+1)(4n-1)/12 ...(答) (iii) >Σ(k=1,n)1/ak・ak+1 これは  Σ(k=1,n)1/(a[k]a[k+1]) の意味ですか? そうだとすると Σ(k=1,n) 1/(a[k]a[k+1])=Σ(k=1,n) 1/{(n-(1/2))(n+(1/2))} =Σ(k=1,n) {1/(n-(1/2)) -1/(n+(1/2))} ={2-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+ … +{1/(n-(1/2))-1/(n+(1/2))} =2-1/(n+(1/2)) =2-2/(2n+1) =4n/(2n+1) ...(答)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

(1)Sn=1/2n^2+n i)一般項a(n)=S(n)-S(n-1)=n^2/2+n-[(n-1)^2/2+(n-1)]=(2n+1)/2 ii)Σ(k=1~n)kak=Σ(k=1~n)[k(2k+1)/2]=Σ(k=1~n)[k^2+k/2]=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/4] =n(n+1)(4n+5)/12 iii)Σ(k=1~n)1/ak・ak+1=Σ(k=1~n)[2/(2k+1)/(2k+3)]=Σ(k=1~n)[1/(2k+1)-1/(2k+3)] =1/3-1/(2n+3) (2)Sn=3an+4n+2 i)S(1)=a(1)=3a(1)+6 a(1)=-3 定義より a(n)=S(n)-S(n-1)=3a(n)+4n+2-[3a(n-1)+4(n-1)+2]=3a(n)-3a(n-1)+4 2a(n)=3a(n-1)-4 (1) ii)a(n+1)=(3/2)a(n)-4 収束値pがあるとするとa(n)=a(n-1)=p 2p=3p-4        (2) p=4 (1)-(2)にp=4を代入し 2[a(n)-4]=3[a(n-1)-4]   (3) この関係はもっと簡単に出るかもしれない。(3)が(1)を満たすことを確認のこと (3)より [a(n)-4]=(3/2)[a(n-1)-4]=(3/2)^(n-1)[a(1)-4]=-7(3/2)^(n-1) iii) a(n)=4-7(3/2)^(n-1)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

>一般項an=Sn-Sn-1でいいのでは? ところで Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+n?それとも Sn=1/2n^2+n=1/(2n^2)+n?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

Sn=1/2n^2+n=(1/2)n^2+nです 紛らわしくしてすみません

関連するQ&A

  • 数列の問題です。

    読みにくいかもです(>_<) 数列{an}の初項から第n項までの和Snが Sn=5(n乗)-1 のとき、一般項anを求めなさい。 どなたかお願いします!!

  • 数列の問題で

    An=sin[30°×n] nは1、2、3、・・・で定まる数列Anの初項から第n項までの和をSnとする。 (1)第10項までの和と第100項までの和をそれぞれ求めよ。 (2)Snの値が最大となるのは、nを12で割った余りがいくらの時か、またそのときSnはいくらか。 Anが周期的に同じ値をとる数列ということは分かったのですが、それから先に進めません。教えて下さい。

  • 数列です

    数列{an}の初項から第n項までの和Snが、一般項anを用いてSn=-2an-2n+5と表せるとき、一般項anをnで表してください

  • 【至急】数列の問題です。

    数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする。 Sn=ーan+2nが成り立つとき、an+1をanを用いて表し、一般項anを求めなさい。 という問題がどうしても解けません。 解ける方がいらっしゃいましたら詳しく解説してください。 お願いします。

  • 数列の問題が分かりません

    数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=-7+2n-an(n≧1)で表されている。 (1)初項a1を求めよ。 (2)anとan+1のみたす関係式を求めよ。 (3)anをnで表せ。

  • 数学「種々の数列」の問題を教えてください。

    初項から第n項までの和Sn=n(n+1)(n+2)で与えられている数列{An}があります。 (1)一般項Anを求めてください。(途中式もお願いします。)  (2)Σ[k=1,n](1/Ak)を求めてください。(途中式もお願いします。)  ちなみに答えは、 (1)An=3n(n+1) (2)n/{3(n+1)} です。よろしくお願いします。

  • 数列の問題で質問です

     初項が2、公比が正である等比数列anの第3項は18である。また、等差数列bnの第3項は-19で、初項から第8項までの和は-116である。  (1)数列anの公比を求め、anをnを用いて表せ。  (2)bnをnを用いて表せ。また、bn<0を満たす最大の自然数nの値を求めよ。  (3)不等式Σ(k=1からn)   ak > Σ(k=1から20)   |bk|  を満たす最小の自然数nの値を求めよ。  いつもお世話になっております。(1)は自力で解いて公比=3、an=2×3^n-1となりましたが、ここから先が分かりません。その上に(1)にも自信がありません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

  • 数学の問題でわからないところがあります。

    どなたか教えてください。 等差数列{an}があり、a2=14、a3-a7=12を満たしている。 (1)数列{an}の初項aと交差dを求めよ。また、一般項anをnを用いて表せ。 (2) 20                Σakの値を求めよ。   k=1 また、 20 Σ|ak|の値を求めよ。 k=1      (3)n≧10とする。 n Σ(|ak|-ak)をnを用いて表せ。 k=1 見にくくてすみません。 よろしくお願いいたします。

  • 数列の問題についてです

    数列anは初項a1から第n項までの和Snが、Sn=n+2anを満たしているとき、数列anの一般項を求めよ。 この問題での解答が写真です。 解答ではSn+1 -Sn = an+1 を使うことで求めていますが、 代わりにSn- Sn-1 = anを使って、n≧2とn=1に場合分けして解いてもよいのですか?

  • 数列の問題です

    数列の問題です。 数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき、関係式Sn=2an+nが成り立っている (1)n≧2のとき、anをan-1を用いて表せ (2)n≧1のとき、bn=an+1ーanとおく。bnをnを用いて表せ。 (3)anをnを用いて表せ (1)はわかりましたが、(2)(3)がわかりません。どなたか教えて下さい。宜しくお願い致します。