• ベストアンサー
  • 困ってます

集合・場合の数

ニュースタンダード48 1800の正の約数(1を含む)は、全部で(ア)個ある。 また、それらの約数の総和は(イ)である。 解答 (ア)36 (イ)6045 p,q,rを素数とおいて、素因数分解をするときで考えればいいのですか? 途中式を含めて解説をお願いします><

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数161
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>1800の正の約数(1を含む)は、全部で(ア)個ある。 >また、それらの約数の総和は(イ)である。 >p,q,rを素数とおいて、素因数分解をするときで考えればいいのですか? 1800を素因数分解すると、1800=2^3×3^2×5^2 素因数2については、2^0=1,2,2^2,2^3の4個考えられる。 3については、3^0,3,3^2の3個、 5については、5^0,5,5^2の3個 だから、 約数は、これらを組み合わせて掛けたものだから、 約数の個数は全部で、4×3×3=36個 約数の総和は、 (2^0+2+2^2+2^3)(3^0+3+3^2)(5^0+5+5^2) =15×13×31 =6045 でどうでしょうか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりました! ありがとうございました!

関連するQ&A

  • 約数の総和

    正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか? 総和なので ()+()+()ではないかと思いました。

  • 数A(さっきの問題と同様、先ほどのはしめきります

    数Aの問題 1800の正の約数(1を含む)は、全部で〔〕個ある 〔〕の中に数字をいれよ まず1800を素因数分解して、2^3×3^2×5^2 2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り 4*3*3=36個 と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか 普通、足し算ではないんでしょうか。 後、2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り はわかるのですが、2も0で3も0で5も0だと× ならなぜ、2^2のときは、3^2(悪魔で例)などとしないんでしょうか そもそもなぜ素因数分解して得たもので約数がわかるのでしょうか 根本的なおころがわからないんで、最初から丁寧に おしえていただきたいです

  • 場合の数、順列 について

    高校数学Aの問題です。 (1)整数700の約数の中で正の数でかつ偶数であるものの個数と、それらの総和を求めなさい。 という問題なのですが、まず約数と出てきた時点で素因数分解をしてみたのですが、その後どのように考えればよいのかわかりません。(答えはありますが、後ほど掲載させてください。) 考え方のポイントを具体的に教えてくださるとうれしいです。どうかよろしくお願いします。

  • 中学数学を教えて下さい

    今、問題集を解いているのですが解説を読んでも疑問が残ってしまっています。もしかしたらすごく基本的な部分かもしれないのですが、考えても考えてもわかりません。二問あるのですが、どちらかだけでもいいのでお力添えいただければ嬉しいです。 1.ある素数pに72を加えた数を素因数分解すると13×q(ただしqは素数)となる。   またpをこのqで割ると5余るという。   このとき、pの値で考えられるものをすべて答えなさい。 (解説)  p+72=13×qより、p=13q-72  pをqで割った時の商をaとすると、  p=aq+5  よって、13q-72=aq+5  (13-a)q=77                77=7×11、qは素数だからqは7か11   q=7のとき、p=13×7-72=19  q=11のとき、p=13×11ー72=71  19,71は素数だから、問題に適している。     この解説の  (13-a)q=77   77=7×11、qは素数だからqは7か11  q=7のとき、p=13×7-72=19  q=11のとき、p=13×11ー72=71  の部分なのですが、  (1)77が11×7なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがqの値になるのか  (2)(13-a)は無視してしまっていいのか  (3)7と11を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか  など、全体的によくわかっていません。(1)~(3)を無視してもいいので、回答頂けると嬉しいです。 2,自然数nに対して、nの約数の個数をf(n)で表す。例えば、f(7)=2、   f(8)=4,f(9)=3である。   自然数aについて、f(a)=6のとき、f(aの3乗)の値をすべて求めなさい。  解説  6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p   またはa=pq×qの形に表せる。  a=pxpxpxpxpのとき、axaxa=pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxp(pの15乗)  になるから、  f(axaxa)=15+1=16  a=pqxqのとき、axaxa=pxpxpxqxqxqxqxqxq となるから  f(axaxa)=(3+1)×(6+1)=28  この解説の  6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p   またはa=pq×qの形に表せる。  の部分なのですが、なぜこうなるのかがわからなく、結果的に全部よくわかりません。  頭が悪くて申し訳ないのですが、解説をお願い致します。     

  • 約数の個数

    私が今使っている参考書の数Aのテーマの一つで「約数の個数」というものがあり、解説として  自然数Nの素因数分解が   N=p^a*q^b*r^c(←pのa乗×qのb乗×rのc乗) であれば、Nの正の約数の個数は    (a+1)(b+1)(c+1)個である この公式の補足説明の中に、  ここでは、正の約数の個数だから上の数となったが、「Nの約数となる整数」というときには、負の約数も考える必要があるから、さらに上の数の2倍で、2(a+1)(b+1)(c+1)である という解説がでていました。  負の約数 という概念がわかりません。どういうもなのでしょうか。よろしくお願いします。 なお、この参考書は、受験用の公式集です。

  • 素因数分解の問題教えて下さい。

    ある整数Nを素因数分解するとN=2^10×3^15×5^10×7^2となった。 この整数Nの正の約数のうち1の位が1であるものは何個あるか求めよ。 という問題をいろいろ考えたり周りの人にも聞いたのですが,どのようにしたらよいかわかりません。 答えは11個らしいのですが、詳しい解説を教えていただけませんか。 よろしくお願いします。

  • 素数は無限に多く存在することの証明(ユークリッドの別証)を二つの添削

    ユークリッドの証明は背理法を用いた証明。 素数を有限個とするならその最大素数をpnとして素数を小さい順にp1,p2,…,pnとした時 N=p1*p2*p3*…pn + 1 全ての自然数は素因数に分解できるのでp1~pnの少なくとも一つ因数に持つはずだが、どれで割っても1あまる。これはpnが最大の素数であることに矛盾 素数は無限に存在する。 といった証明。今回はこれの別称として以下の漸化式を用いたものを解けという問題です。 ◆a_{n}:=2^(2^n) + 1, n=1,2,3,… を用いた証明 この時任意のm≠nに対しa_{m}, a_{n}は互いに素である。実際n>mの時 a_{n} - 2 = 2^(2^n) - 1     ={2^2^(n-1) + 1}{2^2^(n-1) - 1}     =a_{n-1}*(a_{n-1} - 2)     =a_{n-1}*a_{n-2}*…*a_{m}*(a_{m} - 2) となるのでa_{m},a_{n}の公約数dは2の約数でなければならない。他方a_{m},a_{n}は奇数であるから(←漸化式より)d=1となる。すると各a_nを素因数分解すると少なくとも一つ素因子pnが得られ、これらはnが異なれば一致しない。かくして無限個の素数p1,p2,p3,…,pn,…が得られた□ ◆正整数の列a_nを次のように定める a_{n+1} = a_{n}*(a_{n} - 1) + 1, a_{1} = 2 これを用いて素数が無限であることを示すのですが 任意のm≠nに対して a_{n} - 1 = a_{n-1}*(a_{n-1} - 1)       = a_{n-1}*a_{n-2}*(a_{n-2} - 1)       = a_{n-1}*a_{n-2}*…*a_{m}*(a_{m} - 1) よりa_{n},a_{m}の公約数は1の約数でなければならない。よってa_{n},a_{m}は互いに素である。 すると各a_nを素因数分解すると少なくとも一つ素因子pnが得られ、これらはnが異なれば一致しない。かくして無限個の素数p1,p2,p3,…,pn,…が得られた□ これら2つの証明はこれであっているでしょうか?

  • 素因数分解の問題

    久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。 二桁の整数nに168をかけると、ある数の二乗になりました。この整数nはいくらになるかという問題です。 168を素因数分解し、n×168=n×2^3×3×7となることは分かります。 これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。 解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、 n=2×3×7×m^2となっていました。 どうしてこのような式なるのですか? A=A^p×b^q×c^rとなっている時、各指数がすべて偶数(2の倍数)なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。

  • 証明の問題がわからないです

    「aとbが互いに素であるとき、 a^2とb^2が互いに素であることを証明せよ」何ですが模範解答を教えてください 素因数分解の一意性から、 a,bの素因数分解が a=a_1・a_2…a_m (各a_iは素数) b=b_1・b_2…b_n (各b_jは素数)のように示すのではなく 最大公約数を考えて背理法で示すやり方でお願いします

  • 素因数分解の一意性を保たせるため?

    「素数」とは「1とその数自身の他に約数を持たない数」と習いました。 1は素数ではないということですが、これは「素因数分解の一意性を保たせるため」と知りました。 これはどういうことでしょうか? 中学生でも解るようにご説明下さい。 (それとも中学生に解るように、は無理でしょうか……?) 宜しくお願いします。