• 締切済み
  • 困ってます

中学数学を教えて下さい

今、問題集を解いているのですが解説を読んでも疑問が残ってしまっています。もしかしたらすごく基本的な部分かもしれないのですが、考えても考えてもわかりません。二問あるのですが、どちらかだけでもいいのでお力添えいただければ嬉しいです。 1.ある素数pに72を加えた数を素因数分解すると13×q(ただしqは素数)となる。   またpをこのqで割ると5余るという。   このとき、pの値で考えられるものをすべて答えなさい。 (解説)  p+72=13×qより、p=13q-72  pをqで割った時の商をaとすると、  p=aq+5  よって、13q-72=aq+5  (13-a)q=77                77=7×11、qは素数だからqは7か11   q=7のとき、p=13×7-72=19  q=11のとき、p=13×11ー72=71  19,71は素数だから、問題に適している。     この解説の  (13-a)q=77   77=7×11、qは素数だからqは7か11  q=7のとき、p=13×7-72=19  q=11のとき、p=13×11ー72=71  の部分なのですが、  (1)77が11×7なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがqの値になるのか  (2)(13-a)は無視してしまっていいのか  (3)7と11を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか  など、全体的によくわかっていません。(1)~(3)を無視してもいいので、回答頂けると嬉しいです。 2,自然数nに対して、nの約数の個数をf(n)で表す。例えば、f(7)=2、   f(8)=4,f(9)=3である。   自然数aについて、f(a)=6のとき、f(aの3乗)の値をすべて求めなさい。  解説  6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p   またはa=pq×qの形に表せる。  a=pxpxpxpxpのとき、axaxa=pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxp(pの15乗)  になるから、  f(axaxa)=15+1=16  a=pqxqのとき、axaxa=pxpxpxqxqxqxqxqxq となるから  f(axaxa)=(3+1)×(6+1)=28  この解説の  6=1×6=2×3だから、aを素因数分解すると、素数p,qを使ってa=p×p×p×p×p   またはa=pq×qの形に表せる。  の部分なのですが、なぜこうなるのかがわからなく、結果的に全部よくわかりません。  頭が悪くて申し訳ないのですが、解説をお願い致します。     

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数125
  • ありがとう数3

みんなの回答

  • 回答No.3
  • bon_be
  • ベストアンサー率6% (10/165)

1 (13-a)×q  =77 の時点で     7×11=77 もしくは    11×7 =77 しかないと言うことは理解されているのですかね?  ということは  q=11 (このときは a=6です)  もしくは    q=7  (このときは a=2です)    問題で、pの値を求めなさいということですから、qもしくはaの値があれば求まります。  回答例では、qから求めていると言うことです。  aも使って求めれば  p=aq+5に代入して   P=6×11+5=71   P=2×7+5=19  と言うことになります。 2 約数が6個と言うことは a=p×p×p×p×p と表せたとき 約数は 1 p p^2 p^3 p^4 p^5 の6個となると言うことです。 a=p×q×q     と表せたとき 約数は 1 p q q^2 p×q p×q^2  の6個となると言うことです。 これは 6が 1×6 2×3 と表せることから導き出しています。 あとは3乗ですから a=p×p×p×p×pのとき a×a×a=p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p(pの15乗)  になるから、 約数は 1 p p^2 p^3 ・・・ p^14 p^15 だから 16個 これは計算で求めると 15乗だから 15+1=16 (1は0乗の時の 1 を加えています。) a=p×q×qのとき  a×a×a=p×p×p×q×q×q×q×q×q 約数は 1 p p^2 p^3 q q^2 q^3 ・・・ p×q ・・・ p^3×q^6 計算で求めると (3+1)×(6+1)=28個 なぜ(3+1)(6+1)は、ぞれぞれの個数に0乗(1のこと)を加えたものです。 組み合わせを考えてみればどうかと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

大変遅くなってしまって本当に申し訳ありません。 約数の6個というのはpの累乗の数なのですね! わかりやすく長文でのご説明、本当にありがとうございます。 その恩を仇で返すような真似をしてしまい本当にごめんなさい。 今後はこのようなことは決してないようにします。 ご回答ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 中学の数学問題について質問です

    こんばんは。 また分からない問題があるのですが、解説付きで教えて頂きたいです。 nは自然数で、432/nの2乗 が整数になるという。このようなnのうちでもっとも大きいものを求めよ。 ということなのですが、 432を素因数分解すると2の4乗×3の3乗になるところまでは分かり、答えがn=12というのが分かっているのですが、なぜそうなるのかが分かりません。 分かりにくくてすいませんが、解説をお願いします。

  • 中3 数学

    素数、因数、約数についての質問です。 12=1×12と表すとき 1と12は12の因数と言うことは正しいのでしょうか? 素数分解の過程で1を因数とは見なさないため、因数と約数の違いを説明する際に 言葉に詰まってしまいました。 因数とは 数や式が積の形で表されるときの ひとつのひとつの数や式のことを言うのだから 12=1×12のとき1は因数であると言うことに間違いはないでしょうか? 90の約数を素因数分解を使って求めよ、という類の問題の本質を分かりやすく伝えるにはどうすれば良いでしょうか?

  • 平方根

    (1) nは自然数で66/nが素数となる。 このようなnは何個あるかについて まず66を素因数分解すると66=2*3*11 nは自然数なので1,2,3,4…と代入するのでしょうか? (2) √(3n)の値が自然数となるような自然数nを考える。 nの値のうちもっとも小さいものと2番目に小さいものを求めるのですが どうして3*(自然数)^2について考えるのでしょうか?

  • 回答No.2

1について (1)77が11×7なのは分かるのですが、なぜそのどちらかがqの値になるのか A… qが素数であるので。「素数(そすう、英: prime number)とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 でない自然数(正の整数)のことである。(by wikipedia)」 (2))(13-a)は無視してしまっていいのか よいのではないでしょうか。aを求めるのが目的ではなく、素数p,qを求めることが目的なので、p+72=13×qよりqがわかればpも必然的に求まります。  (3)7と11を当てはめて計算するとき、aはどこにいってしまっているのか aが気になるようでしたら計算してはどうでしょうか?p=aq+5より求まります。 2について A…分かってもらえるように説明するのが思った以上に難しいので考え方だけ示します。 一般にaを素数としてa^xという数がありましたら約数の数は(x+1)となることはご存知でしょうか?[a^xはaのx乗] これが理解できると分かります。 例えば、8=2^3の場合、約数の種類は2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8となる。 つまり2を何回かけて違う約数を作り出せるかということを考えると、0(←まったく2をかけないで、3回とも1をかける),1(2を一回だけ掛けることを選んで他は1をかける。),2,3回かける場合が考えられるので、4個の違う約数が作れることがわかります。 一般化して2^xならば、0,1,2,…x回かける場合が考えられるのでx+1個の違う約数が作れることがわかります。 また、Aをさらに一般化して B…一般にa,bを素数として(a^x)*(b^y)という数がありましたら約数の数は(x+1)*(y+1)となることはご存知でしょうか?[a^xはaのx乗] a^xの約数の個数はx+1個 b^yの約数の個数はy+1個 この2つの約数の組み合わせによって当該数字の約数を求めることができる(←詳しくは確率の教科書を参照、重複組み合わせの考え方を使います。)、ので(x+1)(y+1)個の約数があることがわかる。 これらがヒントです。 これがわかるとa=p^5もしくはa=p*q^2と書けることも理解できるはずです。 がんばれ!

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

本当に遅くなってしまって申し訳ありません。 謝って済むことではないと思いますが、ご回答ありがとうございます。 「aを素数としてa^xという数がありましたら約数の数は(x+1)となる」ということは知りませんでした、ありがとうございます! これから問題を解いていくときにスムーズに解いていけそうです! せっかく回答してくださったのに本当に申し訳ありませんでした。 以後、このようなことは二度とないようにします。 ご回答ありがとうございました。

  • 回答No.1

1について (13-a)q=77において、77は素因数分解すれば11×7になる事は理解されているのですよね。 つまり、qが11の時は(13-a)が7になり、qが7の時は(13-a)が11になるという事です。 qが7または11と仮定できたので、p=13q-72なので q=7の時は、p=13×7-72=19 q=11の時は、p=13×11-72=71 になります。 理解できましたか? 2については、もう少し考えてみます(汗)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

遅いとは言えないほど遅くなってしまって本当に申し訳ありません。 なるほど、そういうことなのですね。 ご丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます! 今後は二度とこのようなことはないようにします。 本当に申し訳ありませんでした。

関連するQ&A

  • 数字の件で

    2m∧2 = n∧2 ・・・(1)とする。 ※m,nは自然数 m,nを素因数分解した時の素数の個数を それぞれs,tとすると、(1)式を素因数分解 した時の素数の個数は、 2*s+1,2tになる。・・(2) という、定理があるのですが、 どうやって(2)式が導かれる のかわかりません。

  • 数学の参考書、本質の研究の記述に間違いはありますか

    本質の研究I・A P.31 因数分解のセクションにおいて、「どんな整数も必ず素因数分解ができる」という記述がありました。 しかし、整数には負数が含まれ、素数の定義は1と自分自身以外に約数を持たない1以外の自然数の筈なので、負数を自然数のみで表すことは不可能と考えました。 この場合上記の記述は間違いで、「どんな自然数でも必ず素因数分解ができる」が、著者が本来書きたかった内容ではないでしょうか? 他にも、この参考書に誤った記述がある部分があれば教えてください。

  • n^2-20n+91が素数となる整数nの値・・・

    すごく、基本的な問題だと思うのですが、考え方に疑問があります。 n^2-20n+91が素数となる整数nの値を求める問題です。 参考書の解説には、題式を因数分解して=(n-7)(n-13)とし、 Pが素数のとき、素因数分解したとき1×Pにしかならないので、 n-7又はn-13のどちらかが1ということで、 n-7=±1またはn-13=±1とおいています。 自分が分からないので、「±」です。素因数分解したとき1×Pにしかならないので、 n-7=1またはn-13=1とおいてしまいました。 なぜ、±1とおけるのかが分かりません。要は-1がどのようにして条件になるのかが理解 できていません。 そういうわけでございます。考え方の質問です。

  • 集合・場合の数

    ニュースタンダード48 1800の正の約数(1を含む)は、全部で(ア)個ある。 また、それらの約数の総和は(イ)である。 解答 (ア)36 (イ)6045 p,q,rを素数とおいて、素因数分解をするときで考えればいいのですか? 途中式を含めて解説をお願いします><

  • 数学で頭のいい人に質問なんですが・・・・

    中学校で習う素因数分解の計算なんですが 9991を素因数分解するのですが 答えは103×97になります 地道に素数で割っていけば出てくるのですが、『もっと早く計算する方法』があるというのですが分かりません 友人がこの問題を出してきたんですがどうしてそうなるのかを教えてくれません どなたか私に分かりやすく教えてくださる方はいますか よろしくお願いします

  • 素因数分解の一意性を保たせるため?

    「素数」とは「1とその数自身の他に約数を持たない数」と習いました。 1は素数ではないということですが、これは「素因数分解の一意性を保たせるため」と知りました。 これはどういうことでしょうか? 中学生でも解るようにご説明下さい。 (それとも中学生に解るように、は無理でしょうか……?) 宜しくお願いします。

  • 素因数分解の問題

    「1から30までのすべての自然数の積をXとすると、Xの末尾には0がいくつ並ぶことになるか。なお、Xは29以下のすべての素数の積、X=2a×3b×5c×7d・・・×29で表される。」という問題があります。解説の、「10を素因数分解すると2×5であるから、末尾に並ぶ0の個数nは、Xのすべての素数の積 X=2a×3b×5c×7d・・・×29 において、aとcの内大きくない方である。」という記述が理解できません。どなたか教えてくださいませんか?

  • 数A(さっきの問題と同様、先ほどのはしめきります

    数Aの問題 1800の正の約数(1を含む)は、全部で〔〕個ある 〔〕の中に数字をいれよ まず1800を素因数分解して、2^3×3^2×5^2 2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り 4*3*3=36個 と解説にはかいているのですがなぜ、個数をしらべるために掛け算をするんですか 普通、足し算ではないんでしょうか。 後、2を0~3個の内何回かけるか→4通り 3を0~2個の内何回かけるか→3通り 5を0~2個の内何回かけるか→3通り はわかるのですが、2も0で3も0で5も0だと× ならなぜ、2^2のときは、3^2(悪魔で例)などとしないんでしょうか そもそもなぜ素因数分解して得たもので約数がわかるのでしょうか 根本的なおころがわからないんで、最初から丁寧に おしえていただきたいです

  • 素数の素因数分解

    素数(例えば17)の素因数分解について  (1)すでに素因数分解は終わっている (17の素因数分解は17)  (2)素因数分解はできない のどちらの見解が正しいですか?

  • 二乗の形は素因数分解すると同じ素数を2個一組になるようにもっているはず!!

    他のサイトである質問をしたら、 こういう回答がきました。 36=6^2や64=8^2というある自然数の2乗になる数は、 同じ自然数を2個かけてできているので、 素因数分解すると同じ素数を2個1組になるように持っているはずです。 この文章の、 おんなじ自然数を2個かけてできているので、 素因数分解すると同じ素数を2個1組になるように持っているはず という意味がわかりません。 なぜ持っているはずなのでしょうか? 詳しく教えてください。 一応、他のサイトで質問したものをのせておきます。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1125966436