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数学に関する質問(中学~高校レベル)

2点質問があります。 1.100の1.5乗の解き方について。 母から教えてもらったのですが、 母が出かけていたため、電話越しで教えてもらったので理解し切れていません。 (言葉だけでは理解できませんでした) 100の0.5乗=1/2乗は√100 で、√100×100で、10×100=1000。 で、0.5乗は√をつけると覚えてしまってもいいのかもしれませんが なんで0.5乗はルートがつくのかが分からないのが自分的に嫌です。 母曰く、2乗すると100だから√100だとかかんとか…(すでに理解できていないので、記憶もあやふやになっていますが) なぜ、0.5乗はルートがつくのかを分かりやすく教えていただければと思います(中学レベルもあやふやなので、分かりやすくお願いします) 2.5√√1024という問題があって(最初の5は5乗根です) 素因数分解しても2の10乗、12×18、32の2乗、ぐらいしか分からず 質問をして、ヒントをいただき(ヒントは答えは整数になるから、1から順番に5乗していけば答えが出るというものでした) で、4という答えが導けたのですが この問題ではなくても、 宿題だから、誰かに聞くことが出来ましたが、テストとかで、素因数分解から答えを導き出す時とか(ルート関係の問題とかで) 素因数分解がうまくできなければ答えられませんよね? この問題も最後は整数になるというヒントをいただいたから、1から順番に5乗していって(まあ正確には、6の5乗は1024を超えるの分かっていたし、5の5乗は1の位が5じゃなきゃダメというので、数的にも4だなと思って、4の5乗をしたのですが) 数が大きくなれば大きくなるほど素因数分解が難しいです。 5,6,7とか、それ以上の数で割っていって、途中でダメになってしまうと、すぐ一番簡単な2で割ってしまいます。 通常のルートを最も簡単なルートにするための素因数分解だったらいいのですが ○乗根を求める場合、もっと素因数分解がうまくできないとと思うのですが 頭の中でどういう考えにもっていけたらもっと素因数分解がうまくできるでしょうか?

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  • 回答No.2
  • betanm
  • ベストアンサー率49% (83/168)

【100の1.5乗について】 ○乗という考えは、もともとは○の中身は整数(自然数)を表していました。 それを拡張して、○は少数でも分数でも良いことにしました。 2^3=2*2*2 ですから、2^3=(2^2)*(2^1) ともできますね。 そこで指数法則が出来ます。 A^(n+m)=A^n*A^m と。 これに従うと、100^1.5=100^1*100^0.5 となります。 1乗はどんな場合も元の数と同じですから、100^1=100 です。 0.5乗は√で表現するので、 つまり、 100^1.5=100*√100=1000 【5√√1024について】 √を根号と言いますが、2乗根の場合は前の2を省略して良いことになっていますので、 上の式を書きなおすと、 5√(2√(1024)) ・・・・ つまり√の中にさらに√が入っている形ですね。 因数分解により1024=32^2が解るので、 2√(1024)は32です。 さらに32=2^5ですから、 5√(32)=5√(2*2*2*2*2)=2 となります。 また、画像の公式を使うと、 5√(2√(1024))=10√(1024) ですから、1024=2^10 なので、 簡単に、答えは 2 と解ります。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 2を省略していいことを知らなかったので、違う答えを導いてしまっていました。 参考になりました。

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  • 回答No.3

5√√1024 に関して、前の質問の流れで感じたのですが、1024の素因数分解を間違っているわけじゃないんですよ。 1024=2^10 で正しいんです。 5√√1024 の意味を取り間違えるだけなんです。 二番目の√はルート2の事で、最初のルート5の内側に更にルート2が入っている感じなのです。 Y=√1024 更に 5√Y (5乗根)を求めよと言うことなんです。 Y=√1024=√(2^10)=2^5です。続けて5√Y=5√(2^5)=2 で答えは2なのです。 次のように考えても良いです。 5√√1024の値XはXを5乗したら√1024になる数。だから(Xを5乗)したものを更に2乗したら1024になる数の事 (X^5)^2=X^10=1024  つまり10乗したら1024になる数Xを求めること。 う~ん。説明がうまくないかな? かえって混乱させたならごめんなさいね。  

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 2は省略してもいいんですね。 知りませんでした。 てことは10√1024だから答えは2なんですね。 5√1024と考えてしまっていたので…

  • 回答No.1
  • fertile
  • ベストアンサー率7% (12/166)

普通に学校で教えてもらうという選択肢はないのですか? 根号と素因数分解は、 基本的に関係ありません。 分からない部分を放置して、しかもワケ分からない状態で 混同しているところが、理解の妨げになっていると感じます。 単純な事を申し上げれば、0.5乗の2乗が1乗になるのです。 >>素因数分解しても2の10乗、12×18、32の2乗、ぐらいしか分からず この文章の意味が全く分かりません。複雑な数式の場合、括弧をつけて、根号や 分母分子がどこまでの範囲かを明確にして、考えを整理しましょう。 虚数を含む事もあるので、n乗根は高校での範囲ですが、素因数分解の基本は 小学校で習います。

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質問者からのお礼

学校には行っていません。 通信大学生です。 分からないところは母に教えてもらっています。 塾には通っていますが… 母が今日は夜遅くまで出かけており、 時間帯的に、聞けるのは月曜日になりそうなので 早く頭のもやもやを消し去りたいと思いまして。 >>素因数分解しても2の10乗、12×18、32の2乗、ぐらいしか分からず これは1024に対しての文章です。 1024を素因数分解した時に、2の10乗が1024 12×18が1024、32の2乗が1024という事ぐらいしか分からず、素因数分解から4の5乗が1024という事を導け出せなかったので どうやったらもっとうまく素因数分解が出来るようになるかと思いまして。 基本的な素因数分解はできます。 ただ、数が大きくなればなるほど、自分が求めている答えに導けないといいますか…

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