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この数学の問題の解説をしてくださいませんか

中3です。 数学の問題でわからないのがあるので、 くわしい解説をお願いします。 <問題>※啓林館 数学の教科書36ページより  96にできるだけ小さい自然数をかけて、 ある自然数の2乗にするには、 どのような自然数をかければよいでしょうか。  96を素因数分解して考えなさい。 <解答>  6 <先生の解説>  96を素因数分解すると、   96=3×2^5 となる。 2は二つのセットが二つできて、一つ余る。 3は一つだけなので、2と3をかける。  よって、   2×3=6  答えは6。 本当に意味が分かりません。 どうして素因数分解すると求められるのですか? もうすぐテストですので、ご回答よろしくお願いします。

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noname#175206
noname#175206

>96を素因数分解すると、96=3×2^5 となる。 のはいいですね。  3×2^5=2^4×2×3=(2^2)^2×2×3ということもいいですね。  もし、(2^2)^2×2×3に何か自然数を掛け、全体を整理して、n^2のように書ければいいわけです。nは幾らか、まだ分かりませんが、ある自然数です。  もう一度、(2^2)^2×2×3をよく見ると、2^2は2乗できていますが、2と3は2乗ではありません。  この2と3を2乗してみましょう。2に2を掛けて4、3に3を掛けて9ですが、あえて2乗の形で掛けたものを書き出してみます。  (2^2)^2×2^2×3^2=((2^2)×2×3)^2=576=96×6  掛け算した数が、全て2乗であれば、2乗を後回しにして計算してから、それを2乗しても同じになることを使いました。  結局、96に6を掛ければいいとなります。  この6ですけど、これは上で2を2乗、つまり2倍、3を2乗つまり3倍したから、2×3=6になります。全部の数が掛け算ですから。  こういうことを先生は説明されたのでしょう。これが数を素因数分解してみて、分かることの一例だったりするわけです。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。 これで完全に理解できました。 そういうおもしろい理由で この方法は成り立ってたんですね。 わかりました、ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • CC_T
  • ベストアンサー率47% (1036/2195)

まず、自然数の二乗って何でしょうか。 5×4は5の二乗でも4の二乗でもないですよね。 二乗というのは 7の二乗=7×7=49 6の二乗=6×6=36 とか、とにかく同じ数を二つ掛け合わせるってこと。 つまり、「ある自然数の2乗」っていうのは必ず同じ値の掛け算ペアで表されるってことです。 ここまではOK? もしここまでの理解ができなければ、n乗って何かというところまで戻って勉強が必要ですよ。 ~~~ さて、96を見てみましょう。 96=2×2×2×2×2×3 ですよね(素因数分解)。 この右辺を整理してみます。 ={(2×2)×(2×2)}×2×3 =(4×4)×2×3 (4×4)×2×3で、4×4はすでに掛け算ペアが成立していますが、2と3はペアがいませんね。 ですから、96に2と3のペアを与えてやらねば「ある値を二乗した数」とはならないわけです。 では実際に2と3の掛け算ペアを与えてみましょう。 96×(2×3) =(4×4)×2×3×(2×3) =4×4×6×6 =24×24 ほら、24の二乗になりました。 とまぁこんなところでいかがでしょうか。 素因数分解とは、その数は何の数の掛け算で表せるかってことを示すのです。 8を素因数分解すると2×2×2、つまり2の三乗ですね。 81を素因数分解すると3×3×3×3、つまり3の四乗であり、同時に9の二乗でもありますね。 11は素因数分解しても11。11は11と1以外に約数を持たない「素数」の一つです。

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質問者からのお礼

理解できました! 本当にありがとうございました。 ということは、11は11をかければ、 なんかの数の二乗になるんですよね。 これで安心です。 ありがとうございました。

  • 回答No.1

ある自然数の二乗になっているということは、 二乗した数は n × n (nは自然数) というように因数 n がペアになっている必要があります。 n を 素因数分解して、仮に n1,n2,n3 という風に素因数分解できるならば、それぞれの素因数も同じようにペアになっている必要があります。 n × n = (n1×n2×n3) × (n1×n2×n3) 96 を素因数分解すると、2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 と、 2が五個と3が一個 になります。 2が四個分はそれぞれ二個ずつペアに分けられるので、あとペアになっていない 2、3 は、それぞれ一個ずつの因数をかけてあげる必要があるのです。 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3  × (2 × 3)  = (2×2×2×3) × (2×2×2×3) (2×3)をかけてあげると、全部の因数がペアに分かれる。 なので、96 に 2×3=6 をかけると 自然数 2×2×2×3 = 24 の二乗になるのです。 これで分かりますか?

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質問者からのお礼

わかりました! ご回答ありがとうございました。 これで次のテストは安心です。 勉強頑張ります。

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