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正の約数の和

今、数学の問題集を解いています。 その中の問題で「次の2つの自然数の正の公約数の個数を求めよ。」という問題があるのですが、その中に「(2)1512と7056」という問題があり、それぞれを素因数分解するところまではわかったのですが、そこから先が解説を見ても解説がおおまかでよくわかりません。 ちなみに答えは24個だそうです。 どなたか分かりやすく解説してくださいませんか? よろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2
  • j-mayol
  • ベストアンサー率44% (240/539)

No.1の方が回答されている通り1512と7056の最大公約数の約数の個数が 質問されている約数の個数となるのですが、もう少し詳しく説明させていただきます。 1512=2^3*3^3*7  7056=2^4*3^2*7^2 ちなみに^は累乗を表し、*は積を表します。 公約数はどちらを割っても割り切れる整数ですから、例えば2に着目すれば2^0でも2^1でも2^2でも2^3でも公約数になるわけです。でも2^4は 7056の約数ではあっても1512の約数ではありません。 あとは素因数分解で出てきた素数すべてについて考えその組み合わせを求めればいいので、2については2^0から2^3までの4通り、3については同様に3通り、7については2通りとなりそれらの積がすべての組み合わせである24通りになるわけです。 前半部分については公約数の考え、後半については順列・組み合わせの考えが必要となるので、わからない場合は参考書のそれらの単元を参照するといいと思います。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 j-mayolさんの解説でやっとわかりました。 ありがとうございます。 この問題を解くまでにさんざん順列の問題を解いていたのに、ややこしくなるとそれを応用できなくなったのが恥ずかしいです。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

二つの自然数の公約数は、その二つの自然数の最大公約数の約数です。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。

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