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因数分解の文章題です。
何度してもしっくりきません。 (1)２５２に自然数ａをかけて、その結果の数がある数の２乗になるようにしたい。このような自然数ａのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 （問題の意味さえピンときません・・・・） ２５２を素因数分解すると ２＾2×３＾2×７ 答えでは２乗でないものを選ぶと７ 答え７ (2)３００に自然数ａをかけて、その結果の数がある数の２乗になるようにしたい。このような自然数ａのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 ３００を素因数分解すると ３×２＾2×５＾2 答え３ （類題）素因数分解の結果が２×３×４＾2の場合 （類題）素因数分解の結果が２＾2×３＾2の場合はこたえはどのようになるのでしょうか？またその理由もお願いします。
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ある数を「ｘ」として、文章をそのまま式に現すと、 「252×a＝ｘ^2」 となりますね。 これを「ｘ」について解くと、 ｘ＝√(252×a)＝√(２＾2×３＾2×７×a)です。 「a＝７」の場合、√(２＾2×３＾2×７＾2)＝４２ です。 前記の式を「類題１」に当てはめると、 ｘ＝√(２×３×４＾2×a)から 「a＝６」の場合、√(２＾2×３＾2×４＾2)＝２４ 同様に、「類題２」は、 ｘ＝√(２＾2×３＾2×a)から 「a＝１」の場合、√(２＾2×３＾2×１＾2)＝６ です。
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- chie65536
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追記。 「長方形の板を並べて正方形を作る」と考えれば判りやすい。 ２＾2×３＾2×７ は （２×３×７）×（２×３） なので 「縦が６×７、横が６の、縦長の長方形の板がある。何枚並べると正方形になるか？」 って事。 この板を６分の１の大きさに縮小しても、並べる枚数は変わらない。つまり 「縦が７、横が１の、縦長の板がある。何枚並べると正方形になるか？」 って事。これなら小学生でも判る。答えは「７枚」 ３×２＾2×５＾2 なら ３×２×２×５×５ だから 「縦３×２×５、横２×５の板」になる。１０分の１に縮小したら「縦３×１０、横１０」は「縦３、横１」になる。答えは「３枚」 ２×３×４＾2 は ２×３×４×４ なので （２×３×４）×（４） これを４分の１に縮小すれば （２×３）×（１） で「縦６、横１」になる。答えは「６枚」 ２＾2×３＾2 は ２×２×３×３ で （２×３）×（２×３） だから「元々、縦６、横６の正方形の板」なので、答えは「１枚」。複数枚を並べる必要は無い。
- chie65536
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要は （因数１×ある数ａ）×（因数２×因数２） の形にしなさい、と言っているだけ。 （ここでの「因数」とは、複数の素因数を掛け算した物を言う） この時「因数１」と「ある数ａ」が等しければ （ある数ａ×ある数ａ）×（因数２×因数２） であって、これは （ある数ａ×因数２）＾２ に他ならない。 つまり「因数１を求めれば、ある数ａが求まる」のであり、言い換えれば「素因数に分解した時、偶数個現れる素因数は無視し、奇数個現れる素因数すべての積が答え」となる。 もっと簡単に言えば「すべての素因数を偶数個にするには、ａを何にすれば良いか」と言う事。 ２＾2×３＾2×７×ａ は ２×２×３×３×７×ａ なので「全ての素因数を偶数個にするには、ａを７にすれば良い」事になる。 同様に ３×２＾2×５＾2×ａ は ３×２×２×５×５×ａ なので「ａは３にすれば良い」事になる。 ２×３×４＾2×ａ は ２×３×４×４×ａ なので「ａは２×３で６」。 ２＾2×３＾2×ａ だけは特殊で ２×２×３×３×ａ なら、ａ以外は全部偶数個なので、ａは１になる。これは ２×２×３×３×ａ を １×２×２×３×３×ａ と考えれば良く、ａには、唯一奇数個になっている１を選べば良い。１は何回掛け算しても不変ですから。 気を付けなければならないのは ３×３×５×５×８×ａ など。これは ３×３×５×５×２×２×２×ａ なので、ａは８ではなく２。
- ngoma2008
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ある数の二乗になる、ということは (ある数)^2 ということです。べき乗の計算の性質で a^2×b^2 = (a×b)^2 というのがあります。a,b,・・・いくらあってもいいのですが、二乗の数をまとめることができる、ということです。 2^2×3^2×5^2 であれば、(2×3×5)^2 ということですね。 素因数分解して a^2×b^2×c であればもうひとつcをかけてa^2×b^2×c^2 となって、(a×b×c)^2となり、ある数(この場合a×b×c)の二乗になります。 a^2×b×c であれば、(b×c)をかけてあげれば(a×b×c)の二乗になります。 2^3×3^2 の場合、2×2^2×3^2 と考え、×2が足りない、となります。
