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因数分解の文章題です。

何度してもしっくりきません。 (1)252に自然数aをかけて、その結果の数がある数の2乗になるようにしたい。このような自然数aのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 (問題の意味さえピンときません・・・・) 252を素因数分解すると 2^2×3^2×7 答えでは2乗でないものを選ぶと7 答え7 (2)300に自然数aをかけて、その結果の数がある数の2乗になるようにしたい。このような自然数aのうちで、もっとも小さいものを求めよ。 300を素因数分解すると 3×2^2×5^2 答え3 (類題)素因数分解の結果が2×3×4^2の場合 (類題)素因数分解の結果が2^2×3^2の場合はこたえはどのようになるのでしょうか?またその理由もお願いします。

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  • 回答No.3

ある数を「x」として、文章をそのまま式に現すと、 「252×a=x^2」 となりますね。 これを「x」について解くと、 x=√(252×a)=√(2^2×3^2×7×a)です。 「a=7」の場合、√(2^2×3^2×7^2)=42 です。 前記の式を「類題1」に当てはめると、 x=√(2×3×4^2×a)から 「a=6」の場合、√(2^2×3^2×4^2)=24 同様に、「類題2」は、 x=√(2^2×3^2×a)から 「a=1」の場合、√(2^2×3^2×1^2)=6 です。

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  • 回答No.4

追記。 「長方形の板を並べて正方形を作る」と考えれば判りやすい。 2^2×3^2×7 は (2×3×7)×(2×3) なので 「縦が6×7、横が6の、縦長の長方形の板がある。何枚並べると正方形になるか?」 って事。 この板を6分の1の大きさに縮小しても、並べる枚数は変わらない。つまり 「縦が7、横が1の、縦長の板がある。何枚並べると正方形になるか?」 って事。これなら小学生でも判る。答えは「7枚」 3×2^2×5^2 なら 3×2×2×5×5 だから 「縦3×2×5、横2×5の板」になる。10分の1に縮小したら「縦3×10、横10」は「縦3、横1」になる。答えは「3枚」 2×3×4^2 は 2×3×4×4 なので (2×3×4)×(4) これを4分の1に縮小すれば (2×3)×(1) で「縦6、横1」になる。答えは「6枚」 2^2×3^2 は 2×2×3×3 で (2×3)×(2×3) だから「元々、縦6、横6の正方形の板」なので、答えは「1枚」。複数枚を並べる必要は無い。

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  • 回答No.2

要は (因数1×ある数a)×(因数2×因数2) の形にしなさい、と言っているだけ。 (ここでの「因数」とは、複数の素因数を掛け算した物を言う) この時「因数1」と「ある数a」が等しければ (ある数a×ある数a)×(因数2×因数2) であって、これは (ある数a×因数2)^2 に他ならない。 つまり「因数1を求めれば、ある数aが求まる」のであり、言い換えれば「素因数に分解した時、偶数個現れる素因数は無視し、奇数個現れる素因数すべての積が答え」となる。 もっと簡単に言えば「すべての素因数を偶数個にするには、aを何にすれば良いか」と言う事。 2^2×3^2×7×a は 2×2×3×3×7×a なので「全ての素因数を偶数個にするには、aを7にすれば良い」事になる。 同様に 3×2^2×5^2×a は 3×2×2×5×5×a なので「aは3にすれば良い」事になる。 2×3×4^2×a は 2×3×4×4×a なので「aは2×3で6」。 2^2×3^2×a だけは特殊で 2×2×3×3×a なら、a以外は全部偶数個なので、aは1になる。これは 2×2×3×3×a を 1×2×2×3×3×a と考えれば良く、aには、唯一奇数個になっている1を選べば良い。1は何回掛け算しても不変ですから。 気を付けなければならないのは 3×3×5×5×8×a など。これは 3×3×5×5×2×2×2×a なので、aは8ではなく2。

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  • 回答No.1

ある数の二乗になる、ということは (ある数)^2 ということです。べき乗の計算の性質で a^2×b^2 = (a×b)^2 というのがあります。a,b,・・・いくらあってもいいのですが、二乗の数をまとめることができる、ということです。 2^2×3^2×5^2 であれば、(2×3×5)^2 ということですね。 素因数分解して a^2×b^2×c であればもうひとつcをかけてa^2×b^2×c^2 となって、(a×b×c)^2となり、ある数(この場合a×b×c)の二乗になります。 a^2×b×c であれば、(b×c)をかけてあげれば(a×b×c)の二乗になります。 2^3×3^2 の場合、2×2^2×3^2 と考え、×2が足りない、となります。

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