行列式の因数分解

質問

｜1 a a^3｜
｜1 b b^3｜
｜1 c c^3｜
を因数分解したいのですが、3列目が3乗の場合は、どうしたらいいのでしょう？
二乗の時と同じようにやってみたのですが、上手くいきません。
答えには途中が載ってないので、○行-○行のような感じで良いので、因数分解の過程を教えて下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

｜1 a a^3｜
｜1 b b^3｜
｜1 c c^3｜　1行目を-1倍して、2行目と3行目に加える
=
｜1 　a 　a^3　｜
｜0 b-a b^3-a^3｜
｜0 c-a c^3-a^3｜ 1列目で小行列式に展開
=1*
｜b-a b^3-a^3｜　
｜c-a c^3-a^3｜　2行目から(b-a),3行目から(c-a)を括り出す
=(b-a)(c-a)*
｜1 b^2+ab+a^2｜
｜1 c^2+ac+a^2｜　1行目の-1倍を2行目に加える　
=(b-a)(c-a)*
｜1 b^2+ab　　　 ｜
｜0 c^2-b^2+ac-ab｜ 一列目で展開
=(b-a)(c-a)*1*(c^2-b^2+ac-ab)　(c-b)を括り出す
=(b-a)(c-a)*(c-b)((c+b)+a)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
自分が行き詰まっていた先をどうしたらいいのか分かりました。
ありがとうございました(^^)

回答No.3

alice_44

三列目が二乗のときと同じように、
式の対称性格に注目しよう。

まず最初に、Σ を用いた行列式の定義か、
あるいは、余因子展開から考えれば、
行列式は a,b,c それぞれについて
３次多項式であることが解る。
a,b,c のどれか一対を入れ換えると
行を入れ換えたことになり、行列式は
正負が反転する。つまり、交代式である。

a=b または b=c または c=a のとき、
一致する行ができて、行列式は 0 になるから、
因数定理により、行列式は = (a-b)(b-c)(c-a)P
と書ける。P は、a,b,c の対称な１次式である。

対称な一次式は = s(a+b+c) + t,　(s,t は定数)
という形のものしかないから、
後は、(a,b,c) = (0,1,-1) と (0,1,2) でも
代入して、行列式の値を計算してみれば、
s,t の連立方程式が得られて、
s = 1, t = 0 が判る。

結論は、行列式 = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

お礼

自分は、地道に掛けたり引いたりをしていたのですが、こちらの方が慣れれば早く簡単かもしれませんね。
回答ありがとうございました(^^)

回答No.1

Tacosan

「二乗の時と同じようにやってみ」て, どう「うまくいかなかった」のですか?

お礼

(b-a)(c-a)を括り出すまでは出来たのですが、そこから先は何か特別な事をしなければならないのかと思っていましたが、No.2の方の回答を見て、そこからどう続けたら良いのか分かりました。
回答ありがとうございました(^^)