中学3年数学

質問

1.
ルート2分の123-n2乗　　が素数となるような自然数nの値を求めなさい。

2.
2つの数があり、その和は4である。また、2つの数の差の2乗からそれぞれの2乗の和をひいた数は-2である。2つの数を求めなさい。

この二問の解説をお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

1)
2分の、はどこまでかかってるんでしょうか。
こう解釈していいでしょうか。
√(123 - n^2)/2
もしこうだとすると、そもそも123 - n^2は1以上でないといけないので、
n ≦ 11となります。nが12になると、カッコの中が負になって
計算できないので。
これでnの範囲がかなり絞れました。また、123 - n^2は2で割りきれないといけないので、nは奇数となります。11以下の奇数は6個しかないので、あとは全数チェックでいいかな、と
n = 1のとき、123 - n^2 = 122, √61は素数ではない
n = 3のとき、123 - n^2 = 114, √57は素数ではない
n = 5のとき、123 - n^2 = 98, √49 = 7は素数
n = 7のとき、123 - n^2 = 74, √37は素数ではない
n = 9のとき、123 - n^2 = 42, √21は素数ではない
n = 11のとき、123 - n^2 = 2, √1は素数ではない
∴条件をみたす自然数nは5

2)
2つの数をx, yとする。
条件より
x + y = 4 ... (1)
(x - y)^2 - (x^2 + y^2) = -2 ... (2)
が成り立つ。
(2)より、
x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - y^2 = -2, xy = 1 ... (3)
(1)よりy = 4 - xを(3)に代入
x(4 - x) = 1, 4x - x^2 = 1, x^2 - 4x + 1 = 0
(x - 2)^2 - 4 + 1 = 0, (x - 2)^2 = 3
x - 2 = ±√3, x = 2 ± √3
x = 2 + √3のとき、(1)よりy = 2 - √3
x = 2 - √3のとき、(1)よりy = 2 + √3
∴(x, y) = (2 + √3, 2 - √3), (2 - √3, 2 + √3)

お礼

いつも丁寧な解説を有難うございます。
解説がなく解けなかったので助かりました。
もう一度、やってみます。
有難うございました。

回答No.2

asuncion

2)は「2つの数を求めよ」という設問だったので、
2 + √3 と 2 - √3
という答でいいと思います。