√３ 背理法がわかりません（＞＜）

質問

√３　が無理数であることを背理法で証明したいのですが、有理数と置いてからどうやって矛盾を導けばいいのかわかりません。

どなたか教えて下さい。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

√3が有理数であると仮定すると、互いに素である整数a,bを用いて
√3=b/a とおける（つまり、既約分数ということ）。両辺を2乗して
3=(b^2)/(a^2) より
b^2=3(a^2) …… (1)

(1)の右辺は3の倍数であるので、左辺も3の倍数である。
b^2=b×b が3の倍数であるということは、b×bを素因数分解したときに
3という因数が存在するということであり、つまりはbが3の倍数であることを意味する。
よって、b=3m …… (2) とおくことができる。

(2)を(1)に代入すると
9(m^2)=3(a^2) より
a^2=3(m^2) …… (3)

(3)は(1)と同じ形をしているので、上記と同様の議論によりaが3の倍数であることを意味する。
よって、aもbも3の倍数となるが、これは、最初に仮定した
「aとbは互いに素である（最大公約数が1である）」ことと矛盾する。

∴√3は無理数である

回答No.3

ferien

ｐ^2が３の倍数　ならば、ｐは３の倍数　……（１）
証明）対偶により証明します。
ｐが３の倍数でなければ、ｐ＝３ｎ＋１またはｐ＝３ｎ＋２（ｎは整数）と表せる。
ｐ＝３ｎ＋１のとき、
ｐ^2＝（３ｎ＋１）^2
＝９ｎ^2＋６ｎ＋１
＝３ｎ（３ｎ＋２）＋１より、ｐ^2は３の倍数でない。
ｐ＝３ｎ＋２のとき、
ｐ^2＝（３ｎ＋２）^2
＝９ｎ^2＋１２ｎ＋４
＝３（３ｎ^2＋４ｎ＋１）＋１より、ｐ^2は３の倍数でない。
よって、対偶は真だから元の命題も真　より、（１）は成り立つ。

√３は有理数であると仮定すると、
√３＝ｐ／ｑ（ｐ，ｑは互いに素）とおくと、
√３ｑ＝ｐ　両辺を２乗して、
３ｑ^2＝ｐ^2　
（１）より、p^2は３の倍数だから、ｐは３の倍数　だからｐ＝３ｋ（ｋは整数）とおける。
３ｑ^2＝（３ｋ）^2＝９ｋ^2
ｑ^2＝３ｋ^2
（１）より、ｑ^2が３の倍数だから、ｑは３の倍数
ｐ，ｑが３の倍数だから、互いに素であることに矛盾する。
よって、√３は無理数

証明中には、（１）を使います。
一応証明しましたが、これは書かなくてもいいです。
（少し考えれば分かることです。）

どうでしょうか？

回答No.2

zeta0208

あえて教科書とは違う方法を示してみます。

√3 = a/b とおく。　(ただしa/bは既約分数)

両辺を２乗して
3=a^2/b^2
3×b^2=a^2

ここまでは教科書と同じだと思う。

さて、ここからは違う方法

両辺をそれぞれ素因数分解して素数である「3」の個数を数えてみる。
両辺それぞれ２乗の部分は各素数は偶数個であることから、左辺は奇数個、右辺は偶数個ということが解る。
つまり左辺と右辺で複数通りの素因数分解ができることとなり「素因数分解の一意性」反しており矛盾している。

以上、証明終わり

「素因数分解の一意性」とは「任意の正の整数に対して、素因数分解は積としての順序を除けばただ 1 通りに決定する。」という性質。
高校では証明はしないが教科書に素因数分解の説明としてこの性質は記載されているので証明時に使ってもよいと思います。
この証明の便利なところは√2 でも√5でも√7でも同様に証明できるということ。