背理法

質問

背理法を用いて、
命題：√3は無理数である
が真であることを示すについて

背理法と既約分数の意味がよくわかりません。
おしえてくれませんか？

回答No.3

yuusukekyouju

既約分数とはすでに約分されて、これ以上約分できない分数をいいます。
例えば4/6という分数を考えると
分子分母をを素数の積という形であらわすと
分子4＝2*2　分母6＝2*3となり
どちらも2という共通の因数が含まれているので
4/6は2で約分して2/3となります
このとき2/3は分子分母が同じ約数をもたないので既約分数となります

背理法
背理法とはAはBである（ある人は男である）を証明するとき次の3段階に分けて証明する方法
(1)AはBでないと仮定する（ある人は女であると仮定する）
(2)その矛盾点を見つける（ある人が女であるとおかしなところがある）
(3)ゆえに(1)の仮定はまちがっているのでAはBであるという結論となる（ある人は女でないつまり男である）

√3が無理数であるという命題を背理法で証明するのは、無理数の定義が無理数は有理数つまり既約分数であらわせないものをいうという否定の形での表現であるため

実際の証明は√3＝ｎ/ｍ　　n,mは互いに素となる整数とします。以下の証明はNo2の方と同じです。

(3)

回答No.2

fushigichan

boku115さん、こんにちは。

背理法というのは、ある命題が「成り立っている」と仮定しておいて、
理論を進めていた結果、矛盾が生じたとします。
すると、それは「成り立っている」と決めたからおかしくなっちゃったんですよね。
それで、
「成り立っていると仮定したのに、実は矛盾があった」ときに
背理法によって、この命題は「成り立たない」ことが証明された、といいます。
（この逆でもいいです。成り立たないと仮定したのに、矛盾があるときは、成り立つ）

あと、既約分数というのは、その名のとおり、すでに約された分数です。
つまり「もう、これ以上約分できない分数」ですね。

さて、このことを頭に入れて、ちょっとやってみましょう。

＞命題：√3は無理数である

さて、√3は有理数である、と仮定しちゃいましょう。
この仮定から、おかしい、矛盾点が出てきたら、仮定がおかしかった、つまり
√3は有理数じゃないじゃないか、無理数だ、ということになるのです。

√3が有理数だとすると、ある規約分数でもって
√3=p/q
と表されます（これは、有理数の性質です）
このとき、p,qは互いに素といいます。
p,qの約数は、１しかないという状態です。

この式で、
q√3=p
(q√3)^2=p^2
3q^2=p^2

さて、ここで、この間のご質問で、
ある数a^2が３の倍数ならば、aは３の倍数である、
という問題を証明しましたよね。

3q^2=p^2
の左辺は、３の倍数です。ですから、p^2は３の倍数。
ということは、pは３の倍数でなくてはなりません。

p=3m
と、おくことができます。
このとき、
p^2=(3m)^3=9m^2=3q^2
なので、
3q^2=9m^2
q^2=3m^2
となり、q^2が３の倍数なので、これまた、このあいだの命題により
qもまた３の倍数、ということになってしまいます。

ここで、p/qは既約分数である、という仮定をしましたね。
どちらも３の倍数になってしまうので、既約じゃないということになり
（p,qは１以外の約数を持たないのに、３を持つということになる）
最初の仮定に矛盾する結果が出ました。これは、おかしい。

何故おかしくなったかというと、そもそも√3を有理数だと
仮定したところから、おかしい矛盾が生じたのですね。

ですから、この仮定はおかしかった→つまり、√3は無理数であった。
ということが証明できると思います。頑張ってくださいね。

回答No.1

he-goshite-

背理法：
ある前提を仮定して，その前提から出発して当然正しいとされている方法で論理を展開したときに，前提と矛盾する結論が得られた場合，最初に仮定した前提に誤りがあった，とする論法です。

既約分数：
三分の二（２／３），百分の四十七(４７／１００)など，分子分母に公約数のない分数が既約分数です。（すでに約分済みの分数）