整数問題です。

質問

「l,m,nが自然数のとき

l+1/l+m+1/m+n+1/n=k

も自然数になるという。このようなkの値をすべて求めよ。」

という問題なのですが、不等式を作るんじゃないかなとは思うのですが、解けません。どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

marsmaru · ベストアンサー

#1です.
すいません,訂正です.

(i)
（誤）(1,2)のとき,k=7.
（正）(2,1)のとき,k=7.

(ii)
（誤）n=1のとき,k=4.
（正）n=1のとき,k=6.

よって,k=4,6,10,11,12

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.4

take_5

l,m,nが正から、相加平均・相乗平均を使う。
l+1/l≧2、m+1/m≧2、n+1/n≧2　(等号成立はl＝m＝n＝1)
3辺を加えると、k＝(l+1/l)＋(m+1/m)＋(n+1/n)≧6。
従って、k＝4は不適です。

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

mister_moonlight

よくある整数問題の、ちょっとした変形です。

l,m,nが自然数のとき、kが自然数であるためには、1/l+1/m+1/n＝x　‥‥(1)も自然数でなければならない。
l≧m≧nと仮定しても一般性を失わないから、1/l≦1/m≦1/nより、1/l＋1/m＋1/n≦3/n‥‥(2).
(1)と(2)より、nx≦3‥‥(3).
従って、
(1)x＝1のときは、n＝1、2、3。
(2)x＝2のときは、n＝1。
(3)x＝3のときは、n＝1。

これら(1)～(3)の場合の整数値の求め方は、一般的ですから省略します。
但し、答えは　k＝6、10、11、12。。。。。計算違いをしていなければですが？

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

marsmaru

不等式は使わないのではないかと思います.
上からおさえられればいいのですが,良い方法が見つかりません.

そこで、私の考えた方法を記します.

(i)l=m,l not= nのとき,
2m+2/m+n+1/n=k
2/m+1/n=p , pが自然数
となるには,
(m,n)=(2,1),(4,2)
(1,2)のとき,k=7
(4,2)のとき,k=11

(ii)l=m=nのとき,
3n+3/n=k
これを満たすには, n=1,3.
n=1のとき,k=4.
n=3のとき,k=10.

(iii)全て違うとき,
1/l + 1/m + 1/n=1を満たさなければならない.
なぜならば,もし右辺が2であるならば,
(l,m,n)=(1,2,2)... となり,不適.
右辺が3のときも同様.
このとき,lm=n かつ l+m=n-1を満たす.
よって,(l,m,n)=(2,3,6),.
このとき,k=12.

よって,k=4,7,10,11,12.