この整数問題を解いてください。

質問

この整数問題を解いてください。

2n－1と2n＋αが全ての自然数nに対して互いに素であるような自然数αの値を全て求めよ。

お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

2n－1と2n＋αが互いに素なら、2n－1と(2n＋α)－(2n－1)＝α＋1も互いに素です。

αが偶数なら、n＝α/2＋1のとき、2n－1＝α＋1となり、α＋1が公倍数になる。

αが奇数の場合は、α＋1は偶数であるが、
もし、α＋1＝2^p*(2k＋1)と表されるなら、n＝k＋1のとき、2n－1＝2k＋1となり、2k＋1が公倍数になる。

よって、2n－1とα＋1が互いに素であるためには、α＝2^p－1　でなければならない。

逆に、α＝2^p－1ならば、α＋1＝2^pの素因数は２だけなので、奇数である2n－1とは互いに素である。

以上より、
α＝2^p－1　（p=1,2,3,・・・）
＝1,3,7,15,31,63,127,・・・・

お礼

ありがとうございました。