整数問題

質問

こんにちは
整数問題で理解できないものがありましたので教えてください。
問題：10のn剰（nは自然数）は２００!を割り切る。このようなnの最大値を求めよ
解説：５の個数を数えて200÷5＝40、200÷25＝8、200÷125＝1あまり75　よって40＋8＋1＝49
となっているのですがなぜ5の個数を考えているのかわかりません。どなたかお願いします！

回答No.3

repobi · ベストアンサー

"10のn剰（nは自然数）は２００!を割り切る。"
と言うのはつまり、
"200!を計算するとお尻に0がｎ個並ぶ"って事です。
お尻に0がつくためには10を掛ける必要があります。
ココで、10って言うのは2×5の事です。
じゃあ、1×2×3×4×・・・・×200、の過程で何回、2と5を掛けたか？
っていうのがこの問題です。

だから、1から200までの数をそれぞれ素因数分解して、2と5のペアの数を数えればいいワケです。
しかし当然のことながら、2より5の方が少ないので、結局5の数を数えればいいのです。

（例えば、男が10人女が7人の場合、男女のペアは7組で、男が3人余ります）

具体的にいくと、
25!

=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25
=1*2*3*(2*2)*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)*11*(2*2*3)*13*(2*7)*(3*5)*(2*2*2*2)*17*(2*3*3)*19*(2*2*5)*(3*7)*(2*11)*23*(2*2*2*3)*(5*5)
となり、2が22個と5が6個です。
なので0が6個並ぶのです。
実際、15511510043330985984000000となります。

余談ですが、数学オリンピックの過去問に似た問題があった気がします。
2000!の最後に0は何個並ぶか、見たいな感じのが。

お礼

ありがとうございます。ちょっとしたことですが具体例をまぜてくださって非常によくわかりました！

回答No.2

take008

200!を素数の積で表したとき５はいくつあるでしょうか。
(_は桁をそろえるためです,無視してください）
_ 200÷５＝40 … ５　の倍数の個数
__ 40÷５＝ 8 … ５^2の〃
___ 8÷５＝ 1 … ５^3の〃
ゆえに，５は49個ある。
同様に２の個数を数えると（No1さんが書いたように，数えなくてもいいのですが，念のため）
_ 200÷２＝100
_ 100÷２＝ 50
__ 50÷２＝ 25
__ 25÷２＝ 12
__ 12÷２＝_ 6
___ 6÷２＝_ 3
___ 3÷２＝_ 1
ゆえに，２は197個ある。
200!＝２^197×５^41×（2,5以外の素数たち)
___ ＝10^41×２^156×〃
したがって，200! は末尾に０が41個並び，そのすぐ左の数字は０以外の偶数です。
（最後の部分はどこかの入試で出ていたので追加しました。）

お礼

なるほど。そういう考え方もあるんですね！参考にさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.1

an-ekename

階乗ですから，1,2,3,4,5の中に2の倍数が必ずあります．もちろん，6,7,8,9,10の中にも2の倍数が必ずあります．以降も同じでしょう．すなわち，5が１個あるごとに，10をつくるために十分な2があるということです．あとは，2×5が10だということから推測できると思います．もちろん4×25は100ですし，・・・（以下省略）．ちなみに，5の個数を数えるというより，5の倍数の個数を数えるという表現の方が正確ではないでしょうか．55という数字は，5が2個ありますが，この解説の意図では5は1個分でしょう．

お礼

わかりました！5のほうが少ないのは当たり前なことなんですね。ありがとうございました。