整数問題

質問

問題1
1から100までの整数のうちに、約数の個数が偶数個の整数はいくつあるか

答え
90個

これはどう考えれば良いのでしょうか？
思いついたのは1つずつの整数について地道に考えていく方法ですが
なにせ100個もありますし、あまり賢い方法ではなさそうです
教えてください

問題2
6個の約数をもつ自然数のうち、最小のものを答えよ

答え
12

これはどう考えていけば良いのでしょうか？
なさけないことに方針すら思いつきませんでした
教えてください

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

問題1
例えば、24という整数について考えてみます。
24の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24の8個（偶数個）あります。
これらの約数の間に、どういう関係があるでしょうか。
1番目×8番目=24
2番目×7番目=24
3番目×6番目=24
4番目×5番目=24
という規則性があることがわかります。
この規則性は、偶数個の約数を持つ整数すべてに共通しています。

さて、今度は、約数の個数が奇数個となるのはどういう数であるかを考えてみます。
例えば、16という整数について考えてみます。
16の約数は、1, 2, 4, 8, 16の5個（奇数個）あります。
先ほどと同じように書いてみます。
1番目×5番目=16
2番目×4番目=16
3番目×3番目=16
ん？今度は、最後に書いたところで、3番目と3番目という同じ数どうしをかけていますね。
同じ数どうしを書けてもとの数16になるということは、16は平方数であるということです。
他の平方数についても考えてみましょうか。
25の場合
約数は、1, 5, 25の3個（奇数個）あります。
1番目×3番目=25
2番目×2番目=25
というわけで、どうやら、約数の個数が奇数個になるのは平方数の場合である、
という結論を得ることができそうです。実際、そうです（証明は省略）。
1～100の整数の中に平方数はいくつあるでしょうか。
1 = 1 × 1
...
100 = 10 × 10
ですから、10個あります。これらの平方数は、すべて約数の個数が奇数個です。
よって、求める答えは100から10を引いた、90個となります。

問題2
これは、1から順番に勘定していっても問題ないでしょう。
まあ、6個の約数を持つということですから、6以上の整数について考えればよいです。

お礼

よくわかりました
回答ありがとうございました

他の皆さんの回答も良くわかりました
感謝します

回答No.3

f272

問題2だけ
#1の人も#2の人も小さい方から探せと言ってるが
約数が６個なら6=2*3と素因数分解できるから，そのような自然数はa*b^2の形になっていることがわかる。
http://sanzyutsuman.xsrv.jp/Pages/kouza1.html
そのうち小さそうなものは
2*3^2=18
3*2^2=12
この辺だってことはすぐにわかる。

回答No.1

lily5353

１）C=A*B なら、AとBはCの約数になる。よって、約数は必ず対（＝偶数）になる、、、はずだが、奇数になるのはA＝Bの場合のみ。

つまり完全平方数の約数は奇数個です。

100以内の完全平方数は1、4、9、16、、、、、81、100の10個なので、残り90個は偶数約数。

２）おそらくこれと言った方法がないので、小さい数から探すしかないかも。