数学の問題

質問

「nは自然数で、nの約数を小さい方から順に1から並べると、6番目が8で、8番目が14になるという。このようなnのうちで最小のものを求めよ。」という問題なのですが
答えがどうして280になるのかわかりません。
教えてください！

回答No.5

KEIS050162 · ベストアンサー

１から小さい順に並べた約数の６番目が８ということは、可能性のある組合せは、
１．約数の組合せ
１）１，２，３，４，６，８
２）１，２，４，５，７，８

の二通りのみとなります。

２．条件の絞込み
この内、因数７を持つのは２）のケースのみ。

３．最小となるｎの求め方
１，２，４，５，７，８，１４の最小公倍数を求めると、２８０となります。

【考え方】
１．
１）８が約数ということは、１，２，４が自動的に約数となる。仮に因数３を持っているのであれば、自動的に２×３＝６も約数になるので、３を含む場合は、
１，２，３，４，６，８しかありえない。

２）因数３を含まないケースでは、６が約数になることはありえないので、１，２，４，５，７，８しかありえない。

２．
更に、８番目に１４が約数となるとすると、因数に７を持っていなければならない。従って２）のケースとなる。

３．
最小の自然数を求めるには、それぞれの約数の最小公倍数を求めればよい。
最小公倍数の求め方は色々ありますが、各約数の素因数の和集合の要素を全部掛け合わせると計算出来ます。

１　＝　１
２　＝　２
３　＝　３
４　＝　２×２
５　＝　５
７　＝　７
８　＝　２×２×２
１４　＝　２×７

１×２×２×２×３×５×７　＝　２８０

ご参考に。

【検算】
２８０の約数
１、２、４、５、７、８、１０、１４、…
（８の次の約数は２×５＝１０になる）

お礼

KEIS050162さん回答ありがとうございました

回答No.4

shuu_01

８＝ 2×2×2 が約数ということは、2、4 も約数ということ
14 ＝ 2×7 が 約数ということは、7 も約数ということ

これで、少なくとも、約数に
1、2、4、7、８，14、28、56 が含まれていることがわかります

この状態で 8 は 5番目ですので、1から 8 の間に何か 1個 入ります
3 を考えてみると、6 も入ってしまうので、 8 は 7番目になってしまい、
条件に合いません
5 を考えてみると、約数を順に並べると
1、2、4、5、7、8、10、14、20、、、
とちょうど 8番目が 14 になるので、約数に 5 が含まれることがわかります
求める数は 2×2×2×5×7 ＝ 280

【答え】 280

お礼

shuu_01さん回答ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

6番目が8で8番目が14であるから、
7番目は9～13のいずれか。

i)7番目が9のとき
nは8, 9, 14の最小公倍数である252の倍数
252の約数：1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, ...
6番目が8にならないのでダメ

ii)7番目が10のとき
nは8, 10, 14の最小公倍数である280の倍数
280の約数：1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, ...
条件を満たしている。

iii)7番目が11のとき
nは8, 11, 14の最小公倍数である616の倍数
280より大きいのでダメ

iv)7番目が12のとき
nは8, 12, 14の最小公倍数である168の倍数
168の約数：1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, ...
6番目が8にならないのでダメ

v)7番目が13のとき
nは8, 13, 14の最小公倍数である728の倍数
280より大きいのでダメ

∴最小のnは280

お礼

asuncionさん回答ありがとうございました。

回答No.2

SoltyRevant

学が無いので力技ですが、
自分ならこう解きます。

・8と14の最小公倍数を見つける
8, 16, 24, 32, 40, 48 ,56, 64, 72, 80
14, 28, 42, 56
⇒56（解は56の倍数で確定）

56の約数=1, 2, 4, 8, 14, 28,....
112の約数=1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, ....
168の約数= 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, ....
224の約数=1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, ....
280の約数=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, .....

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

約数として１は必ず含まれていて、６番目が８ということは
１と８の間に４つの約数があるということです。

８が約数なのだから、４と２も約数です。ということはあと二つの
約数としては
６と３（６が入れば必ず３も入る）
５と７
のいずれかということです。

１４が約数なので、７も約数でなければなりません。よって
約数の並び方は
１、２，４，５，７，８、○、１４
です。２と５が約数なので、１０も約数でなくてはならず、約数の並びは
１、２，４，５，７，８、１０、１４
となり、これらの最小公倍数は２８０ですね。

お礼

回答ありがとうございました