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数学の問題

「nは自然数で、nの約数を小さい方から順に1から並べると、6番目が8で、8番目が14になるという。このようなnのうちで最小のものを求めよ。」という問題なのですが 答えがどうして280になるのかわかりません。 教えてください！

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  • KEIS050162
  • ベストアンサー率47% (890/1879)
回答No.5

１から小さい順に並べた約数の６番目が８ということは、可能性のある組合せは、 １．約数の組合せ １）１，２，３，４，６，８ ２）１，２，４，５，７，８ の二通りのみとなります。 ２．条件の絞込み この内、因数７を持つのは２）のケースのみ。 ３．最小となるｎの求め方 １，２，４，５，７，８，１４の最小公倍数を求めると、２８０となります。 【考え方】 １． １）８が約数ということは、１，２，４が自動的に約数となる。仮に因数３を持っているのであれば、自動的に２×３＝６も約数になるので、３を含む場合は、 １，２，３，４，６，８しかありえない。 ２）因数３を含まないケースでは、６が約数になることはありえないので、１，２，４，５，７，８しかありえない。 ２． 更に、８番目に１４が約数となるとすると、因数に７を持っていなければならない。従って２）のケースとなる。 ３． 最小の自然数を求めるには、それぞれの約数の最小公倍数を求めればよい。 最小公倍数の求め方は色々ありますが、各約数の素因数の和集合の要素を全部掛け合わせると計算出来ます。 １　＝　１ ２　＝　２ ３　＝　３ ４　＝　２×２ ５　＝　５ ７　＝　７ ８　＝　２×２×２ １４　＝　２×７ １×２×２×２×３×５×７　＝　２８０ ご参考に。 【検算】 ２８０の約数 １、２、４、５、７、８、１０、１４、… （８の次の約数は２×５＝１０になる）

esresso
質問者

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KEIS050162さん回答ありがとうございました

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その他の回答 (4)

  • shuu_01
  • ベストアンサー率55% (760/1366)
回答No.4

８＝ 2×2×2 が約数ということは、2、4 も約数ということ 14 ＝ 2×7 が 約数ということは、7 も約数ということ これで、少なくとも、約数に 1、2、4、7、８，14、28、56 が含まれていることがわかります この状態で 8 は 5番目ですので、1から 8 の間に何か 1個 入ります 3 を考えてみると、6 も入ってしまうので、 8 は 7番目になってしまい、 条件に合いません 5 を考えてみると、約数を順に並べると 1、2、4、5、7、8、10、14、20、、、 とちょうど 8番目が 14 になるので、約数に 5 が含まれることがわかります 求める数は 2×2×2×5×7 ＝ 280 【答え】 280

esresso
質問者

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shuu_01さん回答ありがとうございました。

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  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6288)
回答No.3

6番目が8で8番目が14であるから、 7番目は9～13のいずれか。 i)7番目が9のとき nは8, 9, 14の最小公倍数である252の倍数 252の約数：1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, ... 6番目が8にならないのでダメ ii)7番目が10のとき nは8, 10, 14の最小公倍数である280の倍数 280の約数：1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, ... 条件を満たしている。 iii)7番目が11のとき nは8, 11, 14の最小公倍数である616の倍数 280より大きいのでダメ iv)7番目が12のとき nは8, 12, 14の最小公倍数である168の倍数 168の約数：1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, ... 6番目が8にならないのでダメ v)7番目が13のとき nは8, 13, 14の最小公倍数である728の倍数 280より大きいのでダメ ∴最小のnは280

esresso
質問者

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asuncionさん回答ありがとうございました。

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回答No.2

学が無いので力技ですが、 自分ならこう解きます。 ・8と14の最小公倍数を見つける 8, 16, 24, 32, 40, 48 ,56, 64, 72, 80 14, 28, 42, 56 ⇒56（解は56の倍数で確定） 56の約数=1, 2, 4, 8, 14, 28,.... 112の約数=1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, .... 168の約数= 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, .... 224の約数=1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, .... 280の約数=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, .....

esresso
質問者

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回答ありがとうございました

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  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

約数として１は必ず含まれていて、６番目が８ということは １と８の間に４つの約数があるということです。 ８が約数なのだから、４と２も約数です。ということはあと二つの 約数としては ６と３（６が入れば必ず３も入る） ５と７ のいずれかということです。 １４が約数なので、７も約数でなければなりません。よって 約数の並び方は １、２，４，５，７，８、○、１４ です。２と５が約数なので、１０も約数でなくてはならず、約数の並びは １、２，４，５，７，８、１０、１４ となり、これらの最小公倍数は２８０ですね。

esresso
質問者

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