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中学数学 規則性の問題
次のような中学生向けの問題をやってみたのですが、どうにも解けません。(私自身は成人です) 解説を読んでみたのですが、どういう規則性があるのかも理解できませんでした。よろしくお願いします。 下の図のように、自然数を1から小さい順に、縦にn個ずつ書いていく。このとき、横に並んでいる自然数を上から順に1行目、2行目3行目…とし、縦に並んでいる自然数を左から順に1列目、2列目、3列目…とする。 たとえば、3行目の1列目の自然数は3で、2行目の2列目の自然数は(n+2)である。 n行目のn列目まで自然数を書くとき次の問いに答えるという問題です。 |1列目 2列目 3 4……n列目  ̄ ̄ ̄| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ 1行目|1 n+1 2行目|2 n+2 3 |3 ・ 4 |4 ・ ・ |・ ・ ・ |・ ・ n |・ ・ 問1 n行目の3列目の自然数をnを用いて答えなさい 回答は それぞれの列に並ぶ自然数の個数はn個だから、n行目の2列目の自然数は2n、3列目は3nなので、答えは3n 問2 2行目のn列目の自然数が212のとき、nの値を求めなさい 解説には n行目の(n-1)列目の自然数は(n-1)×n=n^ーnとなるから、2行目のn列目の自然数はn^-n+2=212が成り立つ。 整理して解くと・・・n^ーn-210=0 よりn=15とあります。 (n^はnの二乗) 質問の一つ目ですが そもそもどうしていきなり n行目の(n-1)列目の自然数は(n-1)×n=n^ーnとなるから・・・という事が出てくるのかが理解できません。 問1によれば2×n=212でいいのでは? (行と列で同じnが用いられてる事も混乱してるようです。) もう一点ですが ・どのような規則性があるのか教えてください。 解説には、n行目の自然数は1列目から順に、n、2n、3n、4n…に気づくかどうかがポイントとありました。 よろしくおねがいします。
- hatjibei88
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中学数学の範囲がわからないので、中学数学の範囲を逸脱しているかも しれません。 まず、規則性がわからないと問題が解けないと思います。 1列目を上から下に見ていくと、 1, 2, 3, 4, ..., n と +1 されていっていることには気付かれたと思います。 次に2列目を上から下に見ていくと、 n+1, n+2, n+3, n+4, ..., n+n と1列目の同じ行の値に +n されていることに気付きます。 ですから3列目は1列目の同じ行の値に +2n して、 (2列目の同じ行の値に +n して、と考えても同じことです。) 2n+1, 2n+2, 2n+3, 2n+4, ..., 2n+n となるわけです。 ここまではいいでしょうか? 次に行番号をx、列番号をyとします。(例:1行目ならx=1, 5列目ならy=5) x行目のy列目に入るべき自然数は、 x + (y - 1) * n となるわけです。(* は掛け算です) 問1 n行目の3列目というのは、x=n, y=3ですから、 これを上記の式に代入します。すると、 n + (3 - 1) * n = n + 2n = 3n となります。 問2 2行目のn列目というのは、x=2, y=nです。 これを上記の式に代入したときの値が 212 と言っているわけですから、 2 + (n -1) * n = 212 です。 これを解くと、 n^2 - n - 210 = 0 (n^2 は n の2乗を意味します。) となり、 (n - 15) * (n + 14) = 0 で、n = 15 という答えが得られます。(n = -14だと規則的にならない) 以上です。
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- miracle3535
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|1列目 2列目 3 4……n列目  ̄ ̄ ̄| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ 1行目|1 n+1 2行目|2 n+2 3 |3 ・ 4 |4 ・ ・ |・ ・ ・ |・ ・ n |・ ・ この表を見る限り、m行目のn列はn+mです。 >解説には、n行目の自然数は1列目から順に、n、2n、3n、4n…に気づくかどうかがポイントとありました。 ならば以下のようになります。 |1列目 2列目 3 4……n列目  ̄ ̄ ̄| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ 1行目|1*1 2*1 3*1 2行目| 1*2 2*2 3*2 3 |1*3 ・ 4 |1*4 ・ ・ |・ ・ ・ |・ ・ n |・ ・
お礼
ありがとうございました。 私には難問でしたが、すっきりしました。
- miracle3535
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問題と回答どちらか記入ミスしていませんか? n+2 と2行目n列なのに何故突然 2nに成るのですか? おかしいですよね。
お礼
参考意見ありがとうございます。 ご指摘の箇所ですが 問1の回答の部分でしょうか? 今一度、読み直してみましたがやはり既述のように書かれていました
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お礼
ありがとうございました! 昨夜からどうにもならずに考え込んでいたのが漸くすっきりしました。 x + (y - 1) * nの部分の説明がとても助かりました。 ありがとうございました。