中学数学 規則性の問題

質問

次のような中学生向けの問題をやってみたのですが、どうにも解けません。（私自身は成人です）
解説を読んでみたのですが、どういう規則性があるのかも理解できませんでした。よろしくお願いします。

下の図のように、自然数を1から小さい順に、縦にｎ個ずつ書いていく。このとき、横に並んでいる自然数を上から順に1行目、2行目３行目…とし、縦に並んでいる自然数を左から順に１列目、２列目、３列目…とする。
たとえば、３行目の１列目の自然数は３で、２行目の２列目の自然数は（ｎ+２）である。
ｎ行目のｎ列目まで自然数を書くとき次の問いに答えるという問題です。

　　　　　｜１列目　２列目　　　３　　４……ｎ列目
　￣￣￣｜￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　１行目｜１　　　ｎ+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　２行目｜２　　　ｎ+2　　　　　　　　　　　　　　　
　　　３　　｜３　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　４　　｜４　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　ｎ　　｜・　　　　　・

問１
ｎ行目の３列目の自然数をｎを用いて答えなさい

回答は
それぞれの列に並ぶ自然数の個数はｎ個だから、ｎ行目の２列目の自然数は２ｎ、３列目は３ｎなので、答えは３ｎ

問２
２行目のｎ列目の自然数が２１２のとき、ｎの値を求めなさい

解説には
ｎ行目の（ｎ－１）列目の自然数は（ｎ－１）×ｎ＝ｎ^ーｎとなるから、２行目のｎ列目の自然数はｎ^－ｎ+２＝２１２が成り立つ。
整理して解くと・・・ｎ^ーｎ－210＝０　よりｎ＝１５とあります。
（ｎ^はｎの二乗）

質問の一つ目ですが
そもそもどうしていきなり
ｎ行目の（ｎ－１）列目の自然数は（ｎ－１）×ｎ＝ｎ^ーｎとなるから・・・という事が出てくるのかが理解できません。
問１によれば２×ｎ＝２１２でいいのでは？
（行と列で同じｎが用いられてる事も混乱してるようです。）

もう一点ですが
・どのような規則性があるのか教えてください。

解説には、ｎ行目の自然数は１列目から順に、ｎ、２ｎ、３ｎ、４ｎ…に気づくかどうかがポイントとありました。

よろしくおねがいします。

回答No.2

irija_bari · ベストアンサー

中学数学の範囲がわからないので、中学数学の範囲を逸脱しているかも
しれません。

まず、規則性がわからないと問題が解けないと思います。

1列目を上から下に見ていくと、
1, 2, 3, 4, ..., n
と +1 されていっていることには気付かれたと思います。

次に2列目を上から下に見ていくと、
n+1, n+2, n+3, n+4, ..., n+n
と1列目の同じ行の値に +n されていることに気付きます。

ですから3列目は1列目の同じ行の値に +2n して、
（2列目の同じ行の値に +n して、と考えても同じことです。）
2n+1, 2n+2, 2n+3, 2n+4, ..., 2n+n
となるわけです。

ここまではいいでしょうか？

次に行番号をx、列番号をyとします。（例：1行目ならx=1, 5列目ならy=5）
x行目のy列目に入るべき自然数は、
x + (y - 1) * n
となるわけです。（* は掛け算です）

問1
n行目の3列目というのは、x=n, y=3ですから、
これを上記の式に代入します。すると、
n + (3 - 1) * n = n + 2n = 3n
となります。

問2
2行目のn列目というのは、x=2, y=nです。
これを上記の式に代入したときの値が 212 と言っているわけですから、
2 + (n -1) * n = 212
です。
これを解くと、
n^2 - n - 210 = 0
(n^2 は n の2乗を意味します。）
となり、
(n - 15) * (n + 14) = 0
で、n = 15 という答えが得られます。(n = -14だと規則的にならない）

以上です。

お礼

ありがとうございました！
昨夜からどうにもならずに考え込んでいたのが漸くすっきりしました。
x + (y - 1) * nの部分の説明がとても助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

miracle3535

｜１列目　２列目　　　３　　４……ｎ列目
　￣￣￣｜￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　１行目｜１　　　ｎ+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　２行目｜２　　　ｎ+2　　　　　　　　　　　　　　　
　　　３　　｜３　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　４　　｜４　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　ｎ　　｜・　　　　　・
この表を見る限り、ｍ行目のｎ列はn+mです。

＞解説には、ｎ行目の自然数は１列目から順に、ｎ、２ｎ、３ｎ、４ｎ…に気づくかどうかがポイントとありました。
ならば以下のようになります。
　　　　　｜１列目　２列目　　　３　　４……ｎ列目
　￣￣￣｜￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　１行目｜１*1 　　2*1　 3*1 　　　　　
　　２行目｜ 1*2　　 2*2 3*2　　　　　　　　　　　　　　　
　　　３　　｜1*3　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　４　　｜1*4　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　・　　｜・　　　　　・
　　　ｎ　　｜・　　　　　・

お礼

ありがとうございました。
私には難問でしたが、すっきりしました。

回答No.1

miracle3535

問題と回答どちらか記入ミスしていませんか？
n+2　と２行目ｎ列なのに何故突然　２ｎに成るのですか？
おかしいですよね。

お礼

参考意見ありがとうございます。

ご指摘の箇所ですが
問１の回答の部分でしょうか？

今一度、読み直してみましたがやはり既述のように書かれていました