問題の解説をお願いします。数列

質問

{1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},{11,......},......

自然数の列を上記のような群に分けるとき、

1）第ｎ群の最初の数

2）第ｎ群の数の和

3）88は第何群の何番目の数か

を求めたいのですが、

第ｋ群はｋ個の項で構成されているから、

n≧2のとき、第1群から第n-1群までの項数は

(k=1~n-1)Σk=1/2*n(n+1)

これ以降の解き方がわかりません。

この時点で間違えているかもしれませんが・・・(^^;

解説お願いします。

回答No.3

noname#208392

（1） はその数列をそのまま数式に直しただけです。
（2） 第n群の頭の数は求めましたから、そこから数えてn個の自然数の和です。
（3） 第13群辺りにあるだろう、というのはにらんで見当をつけます。とにかく、第13群の先頭が79、その次の第14群の先頭が92であることは計算できますから、88は第13群にあるのは当然です。2次方程式をつくって、n=13.xxxx を求めて、第13群であるとしてもいいですが、どうせ次で第13群の先頭を求めなければいけませんので、そうしませんでした。

・・・・時間がかかってしまった。他の方とかぶったかも。ごめん。

回答No.2

Mr_Holland

1）第ｎ群の最初の数

＞第ｋ群はｋ個の項で構成されているから、
＞n≧2のとき、第1群から第n-1群までの項数は
＞(k=1~n-1)Σk=1/2*n(n+1)

　いけてますよ。
　上の式で(n-1)までの計算に気をつけて　級数を(1/2)n(n-1) とすれば、あと１歩です。

　そうすると第ｎ群の最初の項をA(n)とすると、これは第1群から第(n-1)群までの項数に１を加えたものと等しいので、次のように表されます。

　　A(n)=(1/2)n(n-1)+1

2）第ｎ群の数の和
　第ｎ群は　A(n)からA(n+1)-1　までの等差数列（初項A(n),公差1、項数ｎ）になっていますので、その和S(n)は次のように表されます。

　　S(n)
=Σ[k=1→n] {A(n)-1+k}
=Σ[k=1→n] {(1/2)n(n-1)+k}
=(1/2)n^2 (n-1) +(1/2)n(n+1)
=(1/2)n(n^2+1)

3）88は第何群の何番目の数か
　まず第何群にあるかを調べます。
　８８が第ｎ群にあるとしますと、８８はA(n)以上で、A(n+1)未満ですので、次の不等式が成り立ちます。

　(1/2)n(n-1)+1≦ 88 < (1/2)n(n+1)+1
⇔(1/2)n(n-1)≦ 87 < (1/2)n(n+1)
⇔n^2-n ≦　174 < n^2+n

　ここで、n^2^n=(n-1/2)^2-1/4, n^2+n=(n+1/2)^2-1/4 といった平方完成の形から同値変形のままｎを求めてもよいですが、慣れないと少し難しいので、上の不等式を２つの２次不等式に分けてｎを求めることにします。

　左側の２次不等式から
　　n^2-n-174≦0
　∴(1-√697)/2 ≦n≦(1+√697)/2
　ここで、n≧1 で、26^2=676 < 697 < 729=27^2 ですので、
　∴　1≦n < (1+27)/2 =14　　　　　・・・・・(A)

　右側の２次不等式について同様にして、
　　n^2+n-174>0, n≧1
　∴(-1+√697)/2 <n
　∴ n > (-1+26)/2 =25/2
　∴ n ≧13　　　　　　・・・・・・・・・・・(B)

　（A)(B)の不等式の結果をまとめるとｎの値が　ｎ＝１３　と求められます。

　次に　第１３群の最初の項は　A(13)=79　ですので、８８は　88-(79-1)=10 番目の項だと分かります。

　以上から　８８　は　第１３群１０番目の数です。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞n≧2のとき、第1群から第n-1群までの項数は
＞(k=1~n-1)Σk=1/2*n(n+1)
うーん、微妙に惜しいというか。＾＾
n-1までの和を求めるのですが、右辺は第 n項までの和の式になっていますね。
普通に、第 n群の最後の項までの全項数としてもいいですよ。

そこがわかると、群の先頭と最後が全体の何番目かがわかりますね。
1)は、全体の何番目かがわかればいいわけで。

2)は、第 n群「だけ」に含まれている数の和ですから、
初項から第 n群の最後までの和を求めて、余計な分を引き去ればよいです。

3)は、まず第何群にあるのかを求めます。
その群の先頭は 1)からわかりますから、何番目かも求められますね。

群数列は、群の項数を表す数列と全体の数列の 2つがあるので、
しっかり区別して考えられるようにしてください。