数列の問題の解き方を教えてください！

質問

次の数列の第ｋ項（ｋ≦ｎ）と、初項から第ｎ項までの和を求めよ。

1^2*n,2^2(n-1),3^2(n-2),......,n^2*1

タイトルの通りです。解答解説よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞1^2*n,2^2(n-1),3^2(n-2),......,n^2*1

　自然数の肩に乗っている累乗は　２　だけだと思って回答します。

　そうすると、第ｋ項のとき　2乗されている数は　ｋ　で、それに掛けられているのは　（ｎ＋ｋ－１）　になっていますので、第ｋ項は次のように表されます。

　　k^2 (n+1-k)

　この第ｎ項までの和はΣの形で

　　Σ[k=1→n] k^2 (n+1-k)

と表せます。　この式で　ｋ　に関係する因数とそうでないものに分けると

　　(n+1)Σ[k=1→n] k^2 - Σ[k=1→n] k^3

になります。
　ここで　次の公式を使いますと、下記のように式が整理でき求められます。

　　公式１）　Σ[k=1→n] k^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1)
　　公式２）　Σ[k=1→n] k^3 =(1/4)n^2 (n+1)^2

　Σ[k=1→n] k^2 (n+1-k)
=(n+1)Σ[k=1→n] k^2 - Σ[k=1→n] k^
=(n+1)×(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n^2 (n+1)^2
=(1/12)n(n+1)^2 (n+2)

回答No.1

Tacosan

たとえば 3^2(n-2) というのは 3^2×(n-2) なのか, それとも 3^[2(n-2)] なのか, どっち?

補足

すみません。3^2×(n-2)です。