数学B 数列

質問

次の数列の第k項と、初項から第n項までの和をもとめよ。
（１）1*n , 3*(n-1) , 5*(n-2) , ・・・ , (2n-3)*2 , (2n-1)*1

この問題のやり方は分かります。
先生が説明した通りにやれば答えだけはでます。

しかし、理屈が分かりません。

初項にnがない、たとえば
2 , 2+4 , 2+4+6 , ・・・ の場合
第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから
一般項＝n/2(2+2n） です。
これをシグマを使って計算します。

しかし、数列自体にnが入っていると
一般項であるn項を求めようとしても、うまくいきません。（初項がn、公差が-1だから、一般項＝n+(n-1)*(-1)＝1となってしまい、一般項でなくなってしまう）

先生の説明は
1*n や 3*(n-1） の*のところで切って、それぞれの一般項をかける。つまり、
*の左側は1 , 3 , 5・・・の初項が1、公差が2の数列だから、2k-1
*の右側はn , (n-1) , (n-2) ・・・の初項がn、公差が-1の数列だから、n-k+1
これらをかけて、(2k-1)(n-k+1) ＝ -2k^2+2kn+3k-n-1 これが一般項（k項）
これをシグマで計算すると、初項からn項までの和になる。
です。

この問題のkとかnとかの役割というか、文字自体の意味もよくわかりません。
kというのはn個ある項のうちの何項目かという意味ですか？
なぜ一般項どうしをかけたら、数列の一般項になるのですか？

文章まとまってなくてすみません。

この問題の文字の意味から最後まで細かく説明をお願いします。
分からなかった部分は捕捉します。

回答No.3

d-t-q · ベストアンサー

捕捉についてですー。
二つの問題の違いは「数列自体にnが入っているかどうか」だけです。

その通りです。
あまりnやkなどの文字にこだわらないでください。
実は、nでもkでもなんでもよいのです。大事なのは、そのアルファベットが何を表しているかが違うのです。

先ほどの例では、第k番目の項は、
初項n、公差-1のとき、一般項は、n+(-1)*(k-1)＝n-k+1です。
このとき、nは、数列の初項と、数列の項数を表しているにすぎません。
言い換えれば、第k番目の数は、m-k+1でも構いません。

では、最初の例では、
nが入らない数列のときの数列は、
第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから
一般項＝n/2(2+2n） です。たしかにそうですが、
第K項は、初項が2、末項2k、項数k の等差数列だから
一般項＝k/2(2+2k）と書けますよね？

これは、経験則ですが、一つの文字で一般項が書ける場合、nを使うことが多く、文字が増えると、k,l,mなどがでてくるよ、ってお話です。

お礼

回答ありがとうございました。
理解することができました。

回答No.2

d-t-q

数列の問題はまず、一般項を求めることが最大の課題です。
一般項とは、第k番目の数です。

2n,2n-1,2n-2,2n-3,...,1という数列の一般項を求められますか？
仮に、nが7のとき、
14,13,12,11,...,1となりますね。
これは、初項14,公差-1の等差数列なので、一般項は、14-k+1です。

これをnに置き換えれば、初項2n、公差-1の等差数列となり、2n-k+1です。

お気づきでしょうか、質問者様の間違いは
『一般項＝n+(n-1)*(-1)＝1となってしまい、一般項でなくなってしまう』というところにあります。

初項n、公差-1のとき、一般項は、n+(-1)*(k-1)＝n-k+1です。

数列の中で、「n」というのは動かない「定数」だと思って理解するとよいでしょう。
すなわち、「初項から第n項までの…」という文でわかるように数列が何個あるか、を表しているのにすぎないのです。その数列の中で、k番目の項が一般項なのです。

蛇足かもしれませんが、
n,n,n....n,nという数列の初項から第n項までの和を求めてみてください。
一般項は単純にnでシグマ計算をして終りなのですが、この数列の意味するのは、
n=1のとき
1
n=2のとき
2,2
m=3のとき
3,3,3
n=4のとき
4,4,4,4
n=nのとき
nがn個あるという数列を表すのです。
先程述べたように、数列の中でnという値は変化していませんよね。

少しはわかっていただけると幸いです。

補足

回答ありがとうございます。

すみません、まだよく分かりません。

次の数列の第k項と、初項から第n項までの和を求めよ。 という問題で
2 , 2+4 , 2+4+6 , ・・・
第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから
一般項＝n/2(2+2n)
となります。しかし、一般項にkは出てきません。つまり、n項目が一般項ということですよね？

しかし、最初の質問の
1*n , 3*(n-1) , 5*(n-2) , ・・・ , (2n-3)*2 , (2n-1)*1
という数列の一般項にはnとk両方がでてきます。つまり、k項目が一般項ということですよね？

「次の数列の第k項と、初項から第n項までの和を求めよ」という部分は完全に同じです。
二つの問題の違いは「数列自体にnが入っているかどうか」だけです。

なのに一般項の文字が違ってくる？・・・　ごちゃごちゃになります。

たぶん私の理解力不足なんだと思いますが・・・すみません

回答No.1

BOMBARDMENT

この問題数列の一般項は「第k項」で、第n項は「末項」ですね。このように、項の数が任意の数nの数列もあることに注意が必要です。ここに、kはnを超えない任意の自然数です。

数列の一般項を求める問題では、通常「第n項」で記述することが多いので、このように誤解されるケースが多々あることと察せられます。ですが、数列には、項数が定まっているものもあれば無限個のものもあり、さまざまです。まずは、「nが入っている数列の項は必ず一般項である」という考え方は忘れて下さい。