• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学B 数列

次の数列の第k項と、初項から第n項までの和をもとめよ。 (1)1*n , 3*(n-1) , 5*(n-2) , ・・・ , (2n-3)*2 , (2n-1)*1 この問題のやり方は分かります。 先生が説明した通りにやれば答えだけはでます。 しかし、理屈が分かりません。 初項にnがない、たとえば 2 , 2+4 , 2+4+6 , ・・・ の場合 第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから 一般項=n/2(2+2n) です。 これをシグマを使って計算します。 しかし、数列自体にnが入っていると 一般項であるn項を求めようとしても、うまくいきません。(初項がn、公差が-1だから、一般項=n+(n-1)*(-1)=1となってしまい、一般項でなくなってしまう) 先生の説明は 1*n や 3*(n-1) の*のところで切って、それぞれの一般項をかける。つまり、 *の左側は1 , 3 , 5・・・の初項が1、公差が2の数列だから、2k-1 *の右側はn , (n-1) , (n-2) ・・・の初項がn、公差が-1の数列だから、n-k+1 これらをかけて、(2k-1)(n-k+1) = -2k^2+2kn+3k-n-1 これが一般項(k項) これをシグマで計算すると、初項からn項までの和になる。 です。 この問題のkとかnとかの役割というか、文字自体の意味もよくわかりません。 kというのはn個ある項のうちの何項目かという意味ですか? なぜ一般項どうしをかけたら、数列の一般項になるのですか? 文章まとまってなくてすみません。 この問題の文字の意味から最後まで細かく説明をお願いします。 分からなかった部分は捕捉します。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • d-t-q
  • ベストアンサー率66% (4/6)

捕捉についてですー。 二つの問題の違いは「数列自体にnが入っているかどうか」だけです。 その通りです。 あまりnやkなどの文字にこだわらないでください。 実は、nでもkでもなんでもよいのです。大事なのは、そのアルファベットが何を表しているかが違うのです。 先ほどの例では、第k番目の項は、 初項n、公差-1のとき、一般項は、n+(-1)*(k-1)=n-k+1です。 このとき、nは、数列の初項と、数列の項数を表しているにすぎません。 言い換えれば、第k番目の数は、m-k+1でも構いません。 では、最初の例では、 nが入らない数列のときの数列は、 第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから 一般項=n/2(2+2n) です。たしかにそうですが、 第K項は、初項が2、末項2k、項数k の等差数列だから 一般項=k/2(2+2k)と書けますよね? これは、経験則ですが、一つの文字で一般項が書ける場合、nを使うことが多く、文字が増えると、k,l,mなどがでてくるよ、ってお話です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 理解することができました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • d-t-q
  • ベストアンサー率66% (4/6)

数列の問題はまず、一般項を求めることが最大の課題です。 一般項とは、第k番目の数です。 2n,2n-1,2n-2,2n-3,...,1という数列の一般項を求められますか? 仮に、nが7のとき、 14,13,12,11,...,1となりますね。 これは、初項14,公差-1の等差数列なので、一般項は、14-k+1です。 これをnに置き換えれば、初項2n、公差-1の等差数列となり、2n-k+1です。 お気づきでしょうか、質問者様の間違いは 『一般項=n+(n-1)*(-1)=1となってしまい、一般項でなくなってしまう』というところにあります。 初項n、公差-1のとき、一般項は、n+(-1)*(k-1)=n-k+1です。 数列の中で、「n」というのは動かない「定数」だと思って理解するとよいでしょう。 すなわち、「初項から第n項までの…」という文でわかるように数列が何個あるか、を表しているのにすぎないのです。その数列の中で、k番目の項が一般項なのです。 蛇足かもしれませんが、 n,n,n....n,nという数列の初項から第n項までの和を求めてみてください。 一般項は単純にnでシグマ計算をして終りなのですが、この数列の意味するのは、 n=1のとき 1 n=2のとき 2,2 m=3のとき 3,3,3 n=4のとき 4,4,4,4 n=nのとき nがn個あるという数列を表すのです。 先程述べたように、数列の中でnという値は変化していませんよね。 少しはわかっていただけると幸いです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 すみません、まだよく分かりません。 次の数列の第k項と、初項から第n項までの和を求めよ。 という問題で 2 , 2+4 , 2+4+6 , ・・・ 第n項は、初項が2、末項2n、項数n の等差数列だから 一般項=n/2(2+2n) となります。しかし、一般項にkは出てきません。つまり、n項目が一般項ということですよね? しかし、最初の質問の 1*n , 3*(n-1) , 5*(n-2) , ・・・ , (2n-3)*2 , (2n-1)*1 という数列の一般項にはnとk両方がでてきます。つまり、k項目が一般項ということですよね? 「次の数列の第k項と、初項から第n項までの和を求めよ」という部分は完全に同じです。 二つの問題の違いは「数列自体にnが入っているかどうか」だけです。 なのに一般項の文字が違ってくる?・・・ ごちゃごちゃになります。 たぶん私の理解力不足なんだと思いますが・・・すみません

  • 回答No.1

この問題数列の一般項は「第k項」で、第n項は「末項」ですね。このように、項の数が任意の数nの数列もあることに注意が必要です。ここに、kはnを超えない任意の自然数です。 数列の一般項を求める問題では、通常「第n項」で記述することが多いので、このように誤解されるケースが多々あることと察せられます。ですが、数列には、項数が定まっているものもあれば無限個のものもあり、さまざまです。まずは、「nが入っている数列の項は必ず一般項である」という考え方は忘れて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学Bの問題

    数列に関する問題 下記の問題の解答と解説もお願いします 1, 一般項が次の式で表される数列について (1) an=3n-4 初項から第5項まで (2) an=(2n+1)^2 初項から第5項まで 2. 次の等差数列の一般項と第30項 (1) 初項 -2, 公差 3 (2) 9,3,-3,-9 ・・・ 3,次の等差数列の末項が第何項なのか (1) 3,8,13,・・・,38 (2) -4,-6,-8,・・・,-42 4, 第6項が -2, 第15項が 25, である等差数列{an}の初項,公差,一般項 5, 次の等差数列の和 (1) -2,1,4,7,10,13,16,19 (2)初項 -9, 公差 -4, 項数 36 (3)初項 16, 公差 -4, 項数 n 6, 次の等比数列の一般項 (1) 3,-6,12,-24・・・ (2) 3, -3/2, 3/4, -3/8,・・・ 7, 次の等比数列の末項は第何項か (1) 1,2,4,8・・・,512 (2) 3,12,48・・・,768

  • 等比数列についての質問です

    等比数列があって、その公比は3、末項は486、その和728である。初項aと項数nを求めよ。 という問題なのですが、一般項がan=a・3^n-1 末項は486なので、a・3^n-1=486 また、sn=a(1-3^n)/1-3=728 a(3^n-1)=1456 というところまでは出来たのですが、ここから初項a項数nを求めるのかわからず困っています。 ぜひご回答の方よろしくお願いいたします。

  • 等差数列と等比数列の問題です。

    数学の問題です。 1.次の等差数列の和を求めなさい。 (1) 初項3, 末項-27, 項数16 (2) 初項-3, 末項19, 項数12 次の等比数列の和を求めなさい。 (3) 初項4, 公比3, 項数4 (4) 初 項-2, 公比1/2,

  • 数列の公式について

    今まで数列のΣの公式を暗記していました。 ところが先生に公式のΣk=1/2n(n+1)はnは項数で(n+1)は(初項の和+末項の和)という意味とおしえてもらいました。 そこでふと疑問に思ったのが、公式のΣk^2=1/6n(n+1)(2n+1)の場合はどういう意味が込められているのか。です。 回答していただけたら助かります。

  • 数Bの数列

    今日も数Bをやっていて、分からない事が 多々あったので、教えて下さい。 (1)問 次の数列の第n項,および初項から    第n項までの和を求めよ。    (an)1,3,6,10,15,21,・・・・・・  (bn)2, 3, 4, 5, 6,・・・・・    bn = n+1 n>=2のとき    an=1 + Σ(k+1) =1 + 1/2(n-1)n + (n-1)  ここからどう計算したら良いのか分かりません  解答はan=1/2n(n+1)です。  その後の初項から第n項までの和は計算は  できましたので、説明はいらないです。 (2)問 次の数列の第n項を求めよ。    1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, ・・・・・・    第n項は 2(nの2乗)-1  となるんですが、どうすればそう  求められるんですか?  私は解答を見るまで全く見当がつきません。 (3)問  次の数列の第n項,および初項から     第n項までの和を求めよ。   0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,・・・・・・   9(1/10+1/10<2乗>+1/10<3乗>+1/10<4乗>+・・・+1/10<n乗>) までは分かるんですが、次に  1-(1/10)<n乗> に何でなんでなるのかよく分かりません。 そのあとのΣの計算も分かりません・・・・。 3問もつらつらと並べてしまいましたが、 どれかひとつでも 教えて頂けると嬉しいです。 見にくいですが、宜しくお願いいます。

  • 高2の数学で数列がわかりません

    数学の問題です。 数列2/3,2/5.4/5,2/7,4/7,6/7,2/9,4/9,6/9,8/9,2/11・・・・・において (1)4/15はこの数列の第何項か。 (2)この数列の第100項の数は何か。 a1=4,an+1=3an+2^3(n=1,2,3,・・・・)で定めらた数列 {an}の一般項を求めよ。 次の数列の和を求めよ。 (1)1・n+2・(n-1)+3・(n-2)+・・・・・+n・1 (2)7+77+777+7777+・・・・・・+777・・・77 777+77はn個とする 次の和を求めよ。 (1)n Σ1/(2k-1)(2k+1) k=1 (2)n Σ1/k(k+1)(k+2) k=1 a1=5,an+1=2an-3n+4(n-1,2,3,・・・・・・)で定められた数列{an}の一般項を求めよ。 a1=1,a2=1,an+2-an+1-2an=0(n=1,2,3,・・・・・)で定められた数列{an}の一般項を求めよ。 数列{an}の初項から第n項までの和Snが3Sn=4an-3N-1(n=1,2,3,・・・・・)を満たすとき (1)初項a1を求めよ。 (2)一般項anおよび和Snを求めよ。 数列11,1001,100001,10000001,・・・・・について (1)この数列の一般項anを求めよ。 (2)この数列の項はすべて11の倍数であることを証明せよ。 宿題ですが数列が全くわかりません。どうかお願いいたします。

  • 数学B 数列

    階差数列の問題 次の数列の第n項を求めよ。 {an}:1 , 5 , 10 , 18 , 31 , 51 , ・・・ この階差数列は {bn}:4 , 5 , 8 , 13 , 20 , ・・・ ですが、これでもまだ分からないので第二階差をとり {cn}:1 , 3 , 5 , 7 , ・・・ となります。 まずbn=b1 + Σck を使って計算していくわけです。このシグマの上にはn-1が書いてありました。 そしてこれで求めたbnの一般項を使って もとの数列の一般項{an}=a1 + Σbk そしてここのシグマの上でもn-1と書いてありました。 しかし、第二階差の場合、その項数はn-2ではないのですか? たとえば、一番上に書いたような数列 1 , 5 , 10 , 18 , 31 , 51 があり、項数は6個とします。つまりn=6です。 ここから第一階差をとると 4 , 5 , 8 , 13 , 20 の5個です。 さらに第二階差をとると 1 , 3 , 5 , 8 の4個です。 つまり、項数はn-2個ですよね? なのに、一回目の計算でシグマの上にn-1とかいたら項数を5まで計算することになり、ありえないと思ったのですが。 参考書にもシグマの上にはn-1しか書いてないので、絶対に私が何かを勘違いしているのですが、何を勘違いしているのかが分かりません。 教えてください。

  • 数学Bの数列の問題です。

    【問題】 等比数列{1,25,25^2,25^3,25^4,……}の初項から第n項までの和は,等比数列{1/3,2/3,3/3,4/3,5/3,……}の初項から第何項までの和に等しいか。nの式で答えよ。 [自分なりの解答] まず等比数列の一般項をan=25^(n-1)と表す。 次に等差数列の一般項をbm=(1/3)mと表す。 そして和の公式で それぞれSn(和),Sm(和)を出してイコールで結んでみたのですが…^^; できないんですよ^^; これでいいのか?という答えになってしまって…。 たぶんやり方が間違っているので 解き方を教えてください。 よろしくお願いします。

  • 等差数列の和

    等差数列の和、わからない問題があるので教えてください。 次のような等差数列の和Sを求めなさい。 初項30、末項34-4n、項数n S=n{30+(34-4n)}/2=n(-4n+64)/2まではできるのですが、この後ってどやって計算するのですか?できるだけ詳しくお願いします。

  • 高2の数学B 数列

    高校2年生の数学Bで分からないところがあります。 数列の階差数列を習っているあたりです。 下の問題が考えてもさっぱり解き方が分からないので何方か教えていただけませんでしょうか? 問.次の数列の第K項をKの式で表し、初項から第n項までの和を求めよ。 1,1+2,1+2+2^2,1+2+^2+2^3,・・・・・・ ちなみに、答えは 第K項:2^K-1 和:2^n+1-n-2 です。 宜しくお願いします。