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数Bの数列

今日も数Bをやっていて、分からない事が 多々あったので、教えて下さい。 (1)問 次の数列の第n項,および初項から    第n項までの和を求めよ。    (an)1,3,6,10,15,21,・・・・・・  (bn)2, 3, 4, 5, 6,・・・・・    bn = n+1 n>=2のとき    an=1 + Σ(k+1) =1 + 1/2(n-1)n + (n-1)  ここからどう計算したら良いのか分かりません  解答はan=1/2n(n+1)です。  その後の初項から第n項までの和は計算は  できましたので、説明はいらないです。 (2)問 次の数列の第n項を求めよ。    1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, ・・・・・・    第n項は 2(nの2乗)-1  となるんですが、どうすればそう  求められるんですか?  私は解答を見るまで全く見当がつきません。 (3)問  次の数列の第n項,および初項から     第n項までの和を求めよ。   0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,・・・・・・   9(1/10+1/10<2乗>+1/10<3乗>+1/10<4乗>+・・・+1/10<n乗>) までは分かるんですが、次に  1-(1/10)<n乗> に何でなんでなるのかよく分かりません。 そのあとのΣの計算も分かりません・・・・。 3問もつらつらと並べてしまいましたが、 どれかひとつでも 教えて頂けると嬉しいです。 見にくいですが、宜しくお願いいます。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2
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No1の方のおっしゃる通りでできます。 (1)の変形がわからなければ 1/2(n-1)n を 1/2n<2乗>-1/2n と展開して整理して因数分解するのもいいでしょう。 (2)は、第4項を見て「2ずつかけてできた数列の和たな」と気づくことがポイントです。数列の基本は、次々と同じ数をたす(等差)と次々と同じ数をかける(等比)です。 (3)の後半部分、n項までの和ですが、   Σ{1-(1/10)<n乗>}=Σ1-Σ(1/10)<n乗> として、Σ1=n であることと  Σ(1/10)<n乗>は初項1/10、公比1/10の等比数列の和と考えて 1/9{1-(1/10)<n乗>} と計算できれば答えがみつかります。

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質問者からのお礼

(1)は因数分解でも解く事ができるんですね! (2)のヒント(ポイント!?)がとても分かり易く、 そう考える事でだいたい分かりました。 詳しい解説ありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

私は(3)だけお答えします。別解です。 0.1 = 1/10 = (1/10)^1 0.01 = 1/100 = (1/10)^2 0.001 = 1/1000 = (1/10)^3 0.0001 = 1/10000 = (1/10)^4 と準備しておきます。 0.9 =1 - 0.1 = 1- (1/10)^1 0.99 =1 - 0.01 = 1- (1/10)^2 0.999 =1 - 0.001 = 1- (1/10)^3 0.9999 =1 - 0.0001= 1- (1/10)^4 4番目の 0.9999 は 9 が4個並んでいるでしょう。 そのとき、1- (1/10)^4 になるんです。

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質問者からのお礼

この別解のおかげで、なぜ1-(1/10)<n乗> になるのか明確に分かりました! すごく嬉しいです。 丁寧な説明ありがとうございました。

  • 回答No.1

(1) 1 + 1/2×(n-1)n + (n-1) =1/2×(2 + n^2 - n + 2n - 2) =1/2×(n^2+n) (2) 第n項=1+2+4+8+...+2^(n-1) ですから、等比数列の和の公式を使いましょう。 (3) 1/10+1/10<2乗>+1/10<3乗>+1/10<4乗>+・・・+1/10<n乗>) これも、 初項1/10、公比1/10の等比数列と考えて、和の公式を使いましょう。

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質問者からのお礼

(1)の解説が詳しくて分かりやすかったです。 おかげで解く事ができました! 素早い対応ありがとうございました。 助かりました。

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