等比数列の和（初項が分数の場合！！）

質問

等比数列の和1/3+1+3^2+・・・・・・+3^ｎを求めよ。という問いについてですが、和の公式に単純に代入してはいけないらしく、項数がｎではなく、項数がｎ+２だから、ｎ+２を公式に代入するらしいのですが、項数は初項～ｎ項までを合わせた数ですよね？だとしたらなぜ項数がｎ+２個になるのかがわかりません・・・どなたかお願いします！！

回答No.4

nattocurry · ベストアンサー

初項の1/3をaとしましょう。

とすると、

第2項：1 = a × 3
第3項：3 = a × 3^2
第4項：3^2 = a × 3^3

となります。

すると、最終項の3^nは、a × 3^(n+1) となりますよね。

初項がaで、公比が3の等比数列の、第n項は、a × 3^(n-1) なのは解ってますか？

最終項の a × 3^(n+1) は、第n項の a × 3^(n-1) に 3^2 を書けた値になっています。
ということは、最終項は、第n項より2項だけあとの第(n+2)項ということになります。
ここ、解りますか？

最終項が第(n+2)項なのですから、項数は(n+2)です。

お礼

n項と最終項は別のものだったんですね！！私は両者の区別がつかずに、最終項がｎ項だと勘違いしていたようです・・・。わかりやすい説明ありがとうございました！！

回答No.5

info22

#3です。
A#3の補足質問の回答

>問なのはなぜ３ですべての数をそろえるのですか？1/3や1を3^-1や3^0に変形する理由が知りたいです！！
公比３の等比数列数列だから、全ての項が、右に項が１つ移るたびに（公比の）3倍されていくことを明確に表現するためです。

解答は解答者の自分が分かっているだけでは駄目で、その解答を見る方（出題者）にta「公比３の等比数列だということ」を分かっていることを示さないと良く分かっていないのでないかととられ、出題者（先生）が減点するかも知れません。

教科書や参考書で、等比数列の表現法や和の公式を導くところ、復習してみてください。

お礼

何度もお答えいただきありがとうございました！！

回答No.3

info22

>等比数列の和 1/3+1+3^2+ … +3^n を求めよ。
この式、一項「3」抜けていますね。
これを入れれば(n+2)項になりますね。
正しくは
1/3+1+3^1+3^2+ … +3^n
＝3^(-1)+3^0+3^1+3^2+ … +3^n

等比数列の和の公式Sn＝ao*{r^(n+2)-1}/(r-1)
に
初項：ao＝3^(-1)＝1/3
公比：r＝3
を代入して計算するだけでしょう。

補足

回答ありがとうございます！・・・あの、疑問なのはなぜ３ですべての数をそろえるのですか？1/3や1を3^-1や3^0に変形する理由が知りたいです！！すみません・・・。

回答No.2

Tacosan

「和の公式に単純に代入してはいけない」なんてことはありません. 「単純に代入していい」からこその「公式」です.
項数を勘違いするのは勘違いする方が悪い. ちゃんと「1個, 2個, ...」と指折り数えましたか?

回答No.1

nattocurry

最終項は、3のn乗なので、項数がnだと思いたい気持ちも解りますが、それが通用するのは、初項が3の1乗、つまり、初項が3のときだけです。
初項は、3の何乗ですか？
それが解れば、項数も解りますよね。