等比数列の和

質問

等差数列の和の場合・・・
（初項+末項）×項数/2
ですが。このような書き方の等比数列の和の場合を教えて下さい。

回答No.5

BBblue

「初項と末項を使って、」という意味ならば、

（初項－末項×公比）／（１－公比）

とも書けますが・・・
初項と公比の場合に比べてあまり美しくないですね。

回答No.4

ymmasayan

もう答えは出ていますが公式の導き方について。

＞初項を a、公比を r とすると、初項から第n項までの和 S は、
＞S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・・ + ar^(n-1)
＞a でくくると、
＞S = a( 1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) ) ----（１）

(1)式の両辺にｒを掛けて
ｒ・S = a(r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^n) ----（２）

上の（１）式から下の（２）式を左辺・右辺ごとに引くと
Ｓ－ｒ・S=a(1-r^n)
Ｓ(1-r)=a(1-r^n)

∴Ｓ＝a(1-r)/(1-r^n)

回答No.3

kabenoka

公式として覚えてしまうのも良いのですが、どうしてそのようになるかを覚えておくと、公式を忘れてしまってももう一度作ることができるし、応用もききます。

初項を a、公比を r とすると、初項から第n項までの和 S は、
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・・ + ar^(n-1)
a でくくると、
S = a( 1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) )
かっこの中は、次のように変形できます
1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) = (1 - r^n)÷(1 - r )
この変形は、右辺の（１－ｒ）を左辺にかけて展開すると （１－ｒ＾ｎ）になることから正しいことがわかります。・・・（＊）

ですから、Ｓ＝a×（ 1 - r^n ) / ( 1 - r )
つまり、初項×（１ー公比＾項数）÷（１ー公比）
となります。

（＊）の部分について
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
のように、ａ＾ｎーｂ＾ｎの形を因数分解すると、（ａ－ｂ）でくくることができて、
（ａ－ｂ）＊（ａ＾（ｎ－１）＋ａ＾（ｎ－２）ｂ＋・・・・＋ａｂ＾（ｎ－２）＋ｂ＾（ｎ－１））
のかたちにできることからの応用です。

回答No.2

rei00

既に回答は出てますが，下記サイト何かの参考になりませんか。

　　◎ 高校で学べない人のための数列
　　　　「10. 等比数列の和」

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/an_index.htm

回答No.1

Raputa

等比数列の和
｛初項×（１－公比＾項数）｝／（１－公比）

ただし、公比≠１
（公比＝１だと分子が０になってしまい、おかしくなるからね！）

ちなみに公比＝１のときは
等差数列の和＝初項×項数
となります。