• 締切済み
  • すぐに回答を!

等比数列の和

等差数列の和の場合・・・ (初項+末項)×項数/2 ですが。このような書き方の等比数列の和の場合を教えて下さい。

みんなの回答

  • BBblue
  • ベストアンサー率24% (14/57)
回答No.5

「初項と末項を使って、」という意味ならば、 (初項-末項×公比)/(1-公比) とも書けますが・・・ 初項と公比の場合に比べてあまり美しくないですね。

回答No.4

もう答えは出ていますが公式の導き方について。 >初項を a、公比を r とすると、初項から第n項までの和 S は、 >S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・・ + ar^(n-1) >a でくくると、 >S = a( 1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) ) ----(1) (1)式の両辺にrを掛けて r・S = a(r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^n) ----(2) 上の(1)式から下の(2)式を左辺・右辺ごとに引くと S-r・S=a(1-r^n) S(1-r)=a(1-r^n) ∴S=a(1-r)/(1-r^n)

回答No.3

公式として覚えてしまうのも良いのですが、どうしてそのようになるかを覚えておくと、公式を忘れてしまってももう一度作ることができるし、応用もききます。 初項を a、公比を r とすると、初項から第n項までの和 S は、 S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・・ + ar^(n-1) a でくくると、 S = a( 1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) ) かっこの中は、次のように変形できます 1+ r+ r^2 + r^3 + ・・・・ + r^(n-1) = (1 - r^n)÷(1 - r ) この変形は、右辺の(1-r)を左辺にかけて展開すると (1-r^n)になることから正しいことがわかります。・・・(*) ですから、S=a×( 1 - r^n ) / ( 1 - r ) つまり、初項×(1ー公比^項数)÷(1ー公比) となります。 (*)の部分について a^2-b^2=(a-b)(a+b) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) のように、a^nーb^nの形を因数分解すると、(a-b)でくくることができて、 (a-b)*(a^(n-1)+a^(n-2)b+・・・・+ab^(n-2)+b^(n-1)) のかたちにできることからの応用です。

  • rei00
  • ベストアンサー率50% (1133/2260)
回答No.2

 既に回答は出てますが,下記サイト何かの参考になりませんか。   ◎ 高校で学べない人のための数列     「10. 等比数列の和」

参考URL:
http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/an_index.htm
  • Raputa
  • ベストアンサー率55% (5/9)
回答No.1

等比数列の和 {初項×(1-公比^項数)}/(1-公比) ただし、公比≠1 (公比=1だと分子が0になってしまい、おかしくなるからね!) ちなみに公比=1のときは 等差数列の和=初項×項数 となります。

関連するQ&A

  • 等差数列と等比数列の問題です。

    数学の問題です。 1.次の等差数列の和を求めなさい。 (1) 初項3, 末項-27, 項数16 (2) 初項-3, 末項19, 項数12 次の等比数列の和を求めなさい。 (3) 初項4, 公比3, 項数4 (4) 初 項-2, 公比1/2,

  • 等比数列のはなし

    何世紀もまえ、等差数列の和をある天才少年(だれだか忘れてしまいましたが)が簡単な方法(初項と末項を足して2で÷)で見つけてしまったというお話は有名ですね。 そこで等比数列の和についてこういう逸話をご存じの方がいたら 教えてください。

  • 等比数列の和について

    初項2、公比5、末項1250 のような等比数列Anの和Sを求めよ。という問題が分かりません。 これに使える公式などあれば教えてほしいです!

  • 等差数列の和

    等差数列の和、わからない問題があるので教えてください。 次のような等差数列の和Sを求めなさい。 初項30、末項34-4n、項数n S=n{30+(34-4n)}/2=n(-4n+64)/2まではできるのですが、この後ってどやって計算するのですか?できるだけ詳しくお願いします。

  • 等比数列の個数の数え方は?

    簡単な例をだします。等比数列 2、2^3、2^5、…、2^(2n-1) の項数はどうやって求めますか?私は、初項の指数が1=2*1-1、末項の指数が2*n-1なので、 n個あると考えるんですが不器用でしょうか? 初項1/2、公比4の等比数列と考えるのは不器用だと分かりますが…。

  • 等比数列についての質問です

    等比数列があって、その公比は3、末項は486、その和728である。初項aと項数nを求めよ。 という問題なのですが、一般項がan=a・3^n-1 末項は486なので、a・3^n-1=486 また、sn=a(1-3^n)/1-3=728 a(3^n-1)=1456 というところまでは出来たのですが、ここから初項a項数nを求めるのかわからず困っています。 ぜひご回答の方よろしくお願いいたします。

  • 等比数列の和の問題について教えてください

    等比数列の問題です。 次の等比数列の和を求めよ。 初項が4、第4項が√2、項数が6 項比がわからないのでまずはそれを求めるのですが、 公式に入れて、 a4 = 4×r^4-1 = √2 r^3 = √2/4 この先をどうやって計算すればいいかわかりません。 お願いします。

  • 等比数列の逆数の和について

    初項1、公比2、項数nの等差数列で、ぎゃく数の和が、2_n -2/2_n-1になるはずなのですが、計算ができません。 途中式とともに教えていただけるとありがたいです。

  • 数学Bの問題

    数列に関する問題 下記の問題の解答と解説もお願いします 1, 一般項が次の式で表される数列について (1) an=3n-4 初項から第5項まで (2) an=(2n+1)^2 初項から第5項まで 2. 次の等差数列の一般項と第30項 (1) 初項 -2, 公差 3 (2) 9,3,-3,-9 ・・・ 3,次の等差数列の末項が第何項なのか (1) 3,8,13,・・・,38 (2) -4,-6,-8,・・・,-42 4, 第6項が -2, 第15項が 25, である等差数列{an}の初項,公差,一般項 5, 次の等差数列の和 (1) -2,1,4,7,10,13,16,19 (2)初項 -9, 公差 -4, 項数 36 (3)初項 16, 公差 -4, 項数 n 6, 次の等比数列の一般項 (1) 3,-6,12,-24・・・ (2) 3, -3/2, 3/4, -3/8,・・・ 7, 次の等比数列の末項は第何項か (1) 1,2,4,8・・・,512 (2) 3,12,48・・・,768

  • 等比数列の和(初項が分数の場合!!)

    等比数列の和1/3+1+3^2+・・・・・・+3^nを求めよ。という問いについてですが、和の公式に単純に代入してはいけないらしく、項数がnではなく、項数がn+2だから、n+2を公式に代入するらしいのですが、項数は初項~n項までを合わせた数ですよね?だとしたらなぜ項数がn+2個になるのかがわかりません・・・どなたかお願いします!!