中学数学わからない問題があります

質問

√ｎ2乗－169　が自然数になるようなｎの自然数をすべて答えよ。
がわかりません。とき方を教えてください。答えは８５になるようです。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

√（ｎ＾２－１６９）が自然数ですね。
題意より上記のカッコの中は（ｎ－ｍ）＾２と表わされます（ｎ－ｍは整数）。これを展開して
ｎ＾２－２ｍｎ＋ｍ＾２＝ｎ＾２－１６９
よって
－２ｍｎ＋ｍ＾２＝－１６９
ｍ（ｍ－２ｎ）＝－１６９
ｍ、ｍ－２ｎはいずれも整数なので（ｍ、ｍ－２ｎ）の組み合わせとして（－１３、１３）、（１３、ー１３）、（１，ー１６９）、（－１、１６９）、（１６９、－１）、（－１６９、１）が考えられますがこれらからｎを求めると１３、－１３、８５、－８５となります。このうち負の数はｎが自然数という条件に反するので除外され、ｎ＝１３は元の式の値がゼロになってやはり条件に反するので除外されます。従ってｎは残った８５です。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.4

foriver7

すでに解答がありますが、別解を載せておきます。
√(ｎ^2-169)が自然数なのですから
√(ｎ^2-169)＝ｍ
となる自然数ｍがありますよね。
両辺２乗して
ｎ^2-169＝ｍ^2
ｍ^2を左辺に169を右辺に持ってきて
ｎ^2-ｍ^2＝169
因数分解して
(ｎ-ｍ)(ｎ+ｍ)=169=13^2
169というのは13^2で13というのが素数でｎ-ｍ＜ｎ+ｍなわけですから、考えられるｎ-ｍ,ｎ+ｍの組み合わせというのは２パターンつまり
ｎ-ｍ＝1,ｎ＋ｍ＝169・・・(1)
or
ｎ-ｍ＝13,ｎ+ｍ=13・・・(2)
しかありません。
(2)は解いてみるとｍが自然数という条件からはじかれるので、答えは(1)の方でｎ＝８５になります。
ちなみにその時の自然数はｍになります。

中学生に整数問題は、慣れてないと少し難しいですね。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。助かりました。

回答No.2

ORUKA1951

問題おかしくないかい？

回答No.1

koko_u_u

169 = 13^2 (2乗)です。