高校生です。整数問題

質問

問題は次のとおりです。

1.　23x+19y=7 の整数解を求めよ。

2.　2000個の玉を30個入る籠と56個入る籠に分けると過不足なくちょうど入った。　　　　
　　それぞれ何籠あったか。

3.　7x＋11y＝9の整数解について、
　　　　(1)ｘが自然数となるとき、ｘの最小値を
　　　　　　求めよ。
　　　 （２）ｙが自然数となるとき、ｙの最小値を
　　　　　　求めよ。

4. 　Ｋを20以下の自然数とする。
　　３３ｘ＋１５ｙ＝ｋ　が整数解をもたないようなｋは何個あるか。

このような問題の解き方が解りません。
私の高校の授業では取り上げませんでした。
どなたか教えてください。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞このような問題の解き方が解りません。
＞私の高校の授業では取り上げませんでした。

４月入学の新入生からは、整数の問題が、数Iの独立した章として加わりますが、今も昔も、教科書で、まとまった形で教わることはありませんでした。

それでも、大学入試などに出ていたのは、使う知識だけなら、小中で学んだ、倍数・約数・余りなどの考え方だけで間に合うから、ということでしょう。

参考書などにも、数IA…のどこで扱うか、難しいところがあり、ごくごく易しい、他分野の応用問題として扱えるもの以外は、実際にこういう問題がでやすい、難関大学向きのものだけでしか扱っていない、というのが、現状です。

大学入試や、高校数学レベルで、こういうことを、ある程度まとめて勉強したいのであれば、

東京出版・大学への数学・別冊「マスターオブ整数」がお勧めです。
大学への数学の外のシリーズに比べ、非常に易しい、基礎的なことから、話がスタートしているので、
出口のところは、難しいとしても、入口から大変、なんてことはありません。

さらに、こういう問題に興味が湧いた場合、上の本に続けて、
日本評論社・水上勉著「チャレンジ！整数の問題199」を読んでみるといいかと思います。

＞1.　23x+19y=7 の整数解を求めよ。

x = 19m + a, y = 23n + b (m,n,a,bは整数) とおくと、
7 = 23x + 19y = 23(19m + a)+ 19(23n + b) = 19*23(m+n) + (23a + 19b) なので、
23a + 19b = 7 となるような、a,bを１組求めると、m+n=0⇒n=-mから、
(x,y) = (a+19m, b-23m) (mは任意の整数) のように、一般解が求まります。

23a + 19b = 7 となるような(a,b)は、
19b = 7-23a なので、右辺にa=0,1,… と代入して、
19の倍数になるかチェックしていく、というような
方法で求めることができます。

もっと上手な求め方もないことはありませんが、説明が大変なので、
上に挙げた本などで調べてください。

＞2.　2000個の玉を30個入る籠と56個入る籠に分けると過不足なくちょうど入った。　　＞　　　　それぞれ何籠あったか。

2000 = 30x + 56y なので、
1と同じやり方で、x,yが自然数になるものを求める。
両辺を２で割るよりも、
30x = 2000 - 56y で、yに整数を代入していって、
30の倍数になる場合を探す方が、簡単です。
右辺が10の倍数になることが、必要条件なのを使えば、
代入するyの候補を絞ることができますし。

＞3.　7x＋11y＝9の整数解について、
＞　　　　(1)ｘが自然数となるとき、ｘの最小値を
＞　　　　　　求めよ。
＞　　　 （２）ｙが自然数となるとき、ｙの最小値を
＞　　　　　　求めよ。

(1)は、11y = 9 - 7x の左辺に、x=1,2,… と代入して、
11の倍数になるものを探すだけ、(2)も同じようにできます。

＞4. 　Ｋを20以下の自然数とする。
　　３３ｘ＋１５ｙ＝ｋ　が整数解をもたないようなｋは何個あるか。

x,yが整数ならば、左辺は、33x+15y=3(11x+5y) と３の倍数なので、
kも３の倍数ですから、調べる範囲を狭めることができます。
k=3k'(k'は自然数、1≦k'≦6) とすると、11x + 5y = k'
工夫のしようはありますが、そこいらは上に挙げた本に任せるとして、
最悪、これを満たすような(x,y)を探していく、というような方法で
解くことができます。

お礼

丁寧な説明をしていただき
ありがとうございました

回答No.3

yyssaa

再回答します。
1.　23x+19y=7 の整数解を求めよ。
x=-3、y=4が一組の解であり、23*(-3)+19*4=7。
23x+19y=7、23*(-3)+19*4=7を辺々引いて
23(x+3)+19(y-4)=0 → 23(x+3)=19(4-y)
左辺は19の倍数になるが23は19の倍数ではないので、
x+3が19の倍数になる。x+3=19H(Hは整数)とおくと
23*19H=19(4-y) → 23H=4-y → y=4-23H
従って、x=19H-3、y=4-23H　Hは整数が23x+19y=7 の整数解となる。

2.　2000個の玉を30個入る籠と56個入る籠に分けると過不足なく
ちょうど入った。それぞれ何籠あったか。
30x+56y=2000の整数解を求める。x=20、y=25とすると
30*20+56*25=2000辺々引いて30(x-20)+56(y-25)=0
→ 30(x-20)=56(25-y) → 15(x-20)=28(25-y)
(25-y)=15K → y=25-15K → y＞0 K=1 → y=10
15(x-20)=28*15K → x-20=28K → x=20+28K=48
よって４８籠と１０籠又は２０籠と２５籠。

3.　7x＋11y＝9の整数解について、
　　　　(1)ｘが自然数となるとき、ｘの最小値を
　　　　　　求めよ。
　　　 （２）ｙが自然数となるとき、ｙの最小値を
　　　　　　求めよ。
x=-5、y=4が一組の解。7*(-5)+11*4=9、7x＋11y＝9の辺々引いて
7(x+5)+11(y-4)=0 → 7(x+5)=11(4-y) (4-y) は7の倍数なので
4-y=7H y=4-7H（Hは整数）とすると 7(x+5)=11*7H
→ x+5=11H → x=11H-5
(1)
x=11H-5≧1→ 11H≧6 H≧6/11からH≧1となり、
H=1のときのx=6が自然数での最小値となる。
なお、このときy=4-7H=-3となる。
(2)y=4-7H≧1 → 3≧7H → 3/7≧H → 0≧Hとなり、
H=0のときのy=4が自然数での最小値となる。
なお、このときx=11H-5=-5となる。

4. 　Ｋを20以下の自然数とする。
　　３３ｘ＋１５ｙ＝ｋ　が整数解をもたないようなｋは何個あるか。
33x+15y=3*(11x+5y)=kが成り立つためにはkは3の倍数でなければ
ならない。従って、３、６、９、１２、１５、１８の６数字
以外の１４数字がｋの場合は整数解をもたない。

お礼

全問書いていただきありがとうございました
がんばります

回答No.2

yyssaa

とりあえず１問回答します。
1.　23x+19y=7 の整数解を求めよ。
x=-3、y=4が一組の解であり、23*(-3)+19*4=7。
23x+19y=7、23*(-3)+19*4=7を辺々引いて
23(x+3)+19(y-4)=0→23(x+3)=19(4-y)
左辺は19の倍数になるが23は19の倍数ではないので、x+3が19の倍数
になる。x+3=19H(Hは整数)とおくと23*19H=19(4-y)→23H=4-y
y=4-23H
従って、x=19H-3、y=4-23H　Hは整数が23x+19y=7 の整数解となる。

お礼

ありがとうございます