整数の問題

質問

次の問題が分からなくて困っています。

整数x,yがx>y≧0を満たすとき、x^2-y^2は4の倍数であることを示せ。

どなたか丁寧な解説よろしくお願いします。

回答No.1

tsuyoshi2004 · ベストアンサー

何かx,yの条件が抜けてませんか？
例えば、x=1,y=0だと、
x^2-y^2=1-0=1
で、４の倍数じゃないですよね？

または(2x)^2-(2y)^2の間違いでしょうか？
そうであれば、
(2x)^2-(2y)^2=(2x-2y)(2x+2y)
=2(x-y)2(x+y)
=4(x-y)(x+y)
x,yがそれぞれ整数なので、(x-y),(x+y)は共に整数なので、
4(x-y)(x+y)は４の倍数であるから、
(2x)^2-(2y)^2もの倍数である。

となりますが・・・・・・

お礼

そうですか。。。試験も近いのでとりあえず別の問題にとりかかることにします。解説ありがとうございました！

補足

そこが私も引っかかっていて、問題文に抜けているところは無く、
解説で、x+yとx-yの偶奇は一致するので、x+yとx-yがともに偶数のとき、x^2-y^2は偶数である。x+yとx-yがともに奇数のとき、x^2-y^2は奇数である。で証明終わりとなっていて、えっ、これで証明出来たことになるのかな？と疑問に思って質問させていただいたのですが、やはりおかしいですよね。。。何か別の証明の仕方がありましたら、どなたか教えて下さい(>_<)

回答No.2

KEIS050162

ｘ、ｙが共に偶数、もしくは、共に奇数でないと成り立たないですね。

共に偶数の時：

ｘ＝２ｍ、　ｙ＝２ｎ
ｍ，ｎは、ｍ＞ｎ≧０　となる整数。

ｘ＾２－ｙ＾２ ＝　（２ｍ）＾２－（２ｎ）＾２　＝　４（ｍ＾２－ｎ＾２）

共に奇数の時：
ｘ＝２ｍ＋１、ｙ＝２ｎ＋１

（２ｍ＋１）＾２　－　（２ｎ＋１）＾２　＝　（２ｍ－２ｎ）（２ｍ＋２ｎ＋２）　＝　４（ｍ－ｎ）（ｍ＋ｎ＋１）

ｘ、ｙの偶奇が違うと、絶対に奇数になると思われます。

お礼

そうですか。。。試験も近いのでとりあえず別の問題にとりかかることにします。解説ありがとうございました！