整数問題の解法と絞り込み方法
- 整数問題の解法として、与えられた等式を変形して積の形に持っていきます。
- 変形した等式から、(x+9)(y-10)=-90となることがわかります。
- この式を満たす可能な(x,y)の組み合わせを探すために、数を絞り込んでいきます。解説をお願いします。
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整数問題
整数問題 x、yを1桁の自然数とするとき、等式(10+x)/(10x+y) = 1/y を満たす(x、y)の組は何通りあるか という問題です。 私の考えは何とか積の形にもって行きました。 (10+x)/(10x+y) = 1/y y(10+x)=10x+y xy-10x+9y=0 x(y-10)+9(y-10)=-90 (x+9)(y-10)=-90 となりました。 ここからある数とある数をかけて-90になる物を探そうとしましたがかなりの組み合わせがあります。 ここから先、どのように進めていくのかわかりません。すいませんが解説をお願いします。また、どのように数を絞っていけばいいのですか?
- type2000
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(10+x)/(10x+y) = 1/y の左右両辺の逆数を取ると (10x+y)/(10+x) = y 左辺 = (10x+y)/(x+10) = {10(x+10)+(y-100)}/(x+10) = 10-{(100-y)/(x+10)} ∴ {(100-y)/(x+10)} = 10-y (100-y)/(10-y) = x+10 (1) 1 ≦ x ≦ 9 より 11 ≦ (100-y)/(10-y) ≦ 19 11 ≦ (100-y)/(10-y) より、 110-11y ≦ 100-y 10y ≧ 10 y ≧ 1 (100-y)/(10-y) ≦ 19 より、 190-19y ≧ 100-y 18y ≦ 90 y ≦ 5 ∴ 1 ≦ y ≦ 5 yは、5 通りしか許されないから、(1)に、 1 ≦ y ≦ 5 のyを順次代入して可能な解を調べる。 a) y = 5 のとき、 95/5 = 19 = 9+10 → (x = 9,y = 5) b) y = 4 のとき、 96/6 = 16 = 6+10 → (x = 6,y = 4) c) y = 3 のとき、 97/7 = 13+(6/7) → (解なし) d) y = 2 のとき、 98/8 = 12+(2/8) → (解なし) e) y = 1 のとき、 99/9 = 11 = 1+10 → (x = 1,y = 1) 故に、解は三組ある。
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- take_5
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(x+9)(y-10)=-90より、(x+9)(10-y)=90。但し、1≦x≦9、1≦y≦9. 90=90*1、45*2、30*3、18*5、15*6、10*9、and、x+9>10-yより組み合わせは、(x+9、10-y)=(90、1)、(45、2)、(30、3)、(18、5)、(15、6)、(10、9)の6通りのみ。 そのうちで、1≦x≦9、1≦y≦9を満たすのは何通り?
- waseda2003
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x,y が1桁の自然数であるということは 1 ≦ x ≦ 9 , 1 ≦ y ≦ 9 ということですから, 10 ≦ x + 9 ≦ 18 , -9 ≦ y - 10 ≦ -1 に限られます。 特に, 10 ≦ x + 9 ≦ 18 の範囲に90の約数は 10,15,18 しか ありませんから,それほど大変ではないと思いますが。
- sanori
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かけて-90になる、という着眼は、とても良いですね! yは1桁の自然数。 |y-10| は、1から9までの自然数です。 90の約数でなくてはいけないので、 |y-10| = 1または2または3または5または9 となり、この時点で5通りに絞られます。 y-10=-1のとき x+9=90 y-10=-2のとき x+9=45 y-10=-3のとき (以下、略)
>(x+9)(y-10)=-90 ・ (x+9)(10-y)=90 とする。 ・90 を素数分解しておく。 あとは、素数分解を二分するしらみつぶし。 さしあたり、最単純な発想ですけど....。
- koko_u_
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>ここから先、どのように進めていくのかわかりません。 x, y は 1 桁の自然数なんで。
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