等式2x+3y=33を満たす自然数x,yの組は[ア] 組ある。それらの

質問

等式2x+3y=33を満たす自然数x,yの組は[ア] 組ある。それらのうちxが二桁で最小である組は(x,y)=([イ],[ウ])である。
アイウに入る数字を答えて下さい。

質問1.わかりやくす具体的に解説できる方おられないでしょうか？
ちなみに参考書では
まず等式を2x=3(11-y)
2xは偶数3は奇数なので11-yは偶数、すなわちyは奇数である(1)
x≧1であるから、1≦y≦31/3・・・(2)
でこれらを満たす自然数yの値は、y=1,3,5,7,9
したがって(x,y)=(3,9),(6,7),(9,5),(12,3),(15,1)
よって等式を満たす自然数x,yの組は5組
それらのうち2桁で最小である組は(x,y)=(12,3)
質問2.1≦y≦31/3・・・(2)はどうやって出したの？
質問3.なぜこの問題で偶数とか奇数とか区別しなければならないのでしょうか？
とにかく自然数になればいいんですよね？

回答No.6

asd65dg

前回答のうちＸ＝３／２（１１－Ｙ）　のマチガイです。以下　気をつけて

回答No.5

asd65dg

参考書は次のように解いています。
　　２ｘ＝３（１１－ｙ）　において　ｘは自然数だから　Ｘ≧　１
　ところで　Ｘ＝２／３（１１－ｙ）　だから　２／３（１１－ｙ）　≧　１
　これを解くと　Ｙ≦　３１／３　　Ｙも自然数だから　１≦　Ｙ　≦　１５　の自然数

　　　　以下　略

（解説）原則的に　未知数と同じだけ式があれば　具体数として解ける
　　未知数のカズより式が１つ少ないときは、比が出る。（解無数）　解き方は数を代入して特定するよ　　り仕方がない。ただそういう場合入試問題としては、解きやすくするため、自然数に限るとか、この　　問題のように、２，３の倍数になるよう特殊問題にしてある。

　　　上で言えば２，３は互いに素だからＸは３の倍数で、１１－Ｙ　は２の倍数になるはずで代入して　　　探す回数を絞れるよう問題を造ってある。

回答No.4

alice_44

係数が小さいので、方眼紙にグラフを描いて
格子点を数えてしまうのが、簡明かつ確実です。
正確な絵を描いて眺めれば、
偶数奇数で分ける理由も自然と
見えてくるはずです。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞まず等式を2x=3(11-y)

2x+3y=33の両辺から3yを引きます。
2x=33-3yになるので左辺を3で括ります。
2x=3(11-y)

＞2xは偶数3は奇数なので11-yは偶数、すなわちyは奇数である(1)

「2x=3(11-y)」の式で、xが偶数でも奇数でも「2xは必ず偶数」です。

つまり「3(11-y)は偶数」だと判ります。

３に奇数を掛けると奇数になるので「11-yは奇数ではない」ですね。

だとすると「11-yは偶数」です。

「11は奇数」で「奇数から奇数を引くと偶数」ですから「yは奇数」と言うのが判ります。

＞x≧1であるから、1≦y≦31/3・・・(2)

「yは自然数」ですから「y≧1」です。

「2x+3y=33」で「x≧1」ですから「偶数＋何かの3倍=33」です。

「何かの３倍」に１以上を足して33になるなら「何かの３倍は３３より偶数の分だけ小さいか等しい」です。

つまり「3y＋偶数≦33」です。

最小の偶数は２なので「3y＋2≦33」ですから両辺から２を引いて「3y≦31」です。

両辺を３で割れば「y≦31/3」です。

「y≧1」かつ「y≦31/3」ですから「1≦y≦31/3」です。

＞でこれらを満たす自然数yの値は、y=1,3,5,7,9

「yは奇数」と「1≦y≦31/3」ですから「y=1,3,5,7,9」は疑いようがありません。

＞したがって(x,y)=(3,9),(6,7),(9,5),(12,3),(15,1)

「2x+3y=33」のyに1,3,5,7,9を当てはめればxが出て来ます。

＞質問2.1≦y≦31/3・・・(2)はどうやって出したの？

上で説明済み。

＞質問3.なぜこの問題で偶数とか奇数とか区別しなければならないのでしょうか？

「yが偶数の時」を除外した方が簡単だから。

「yが偶数の場合は、2x+3y=33が成り立たない」って判ってるのに、yが偶数の時に成り立つxを探すバカは居ません。

＞とにかく自然数になればいいんですよね？

「自然数を全部探す」のと「奇数だけ探す」のと、どっちが楽でしょう？

回答No.2

pasocom

最後の疑問から。
＞なぜこの問題で偶数とか奇数とか区別しなければならないのでしょうか？
それは、参考書の解き方。別に奇数、偶数とか区別する必要はありません。ただ、数学というのは「手間（時間）をかけて、まどろっこしい解き方をするのは、「美しくない」のであって、最小限の手間で、スッキリ解けるのが「美しい解き方」とされるのです。
下記のように考えて下さい。（非常に直感的な解き方）
1)2x+3y=33を満たす自然数（正の整数）。だから、まずx=1、と考えます。その後X=16まで考えることになるのはわかりますね。X=17以上、はあり得ません。
x=1の場合、y=31/3　となるので自然数ではない。
次にx=2の場合なら、y=29/3　となり、これも自然数ではない。
さらに、x=3の場合、・・・・
というふうにx=16の場合までやってみればいいのです。
ここでxが増えていくに従ってyは減っていくことがわかるでしょう。yが最大になるのはx=1の場合のy=31/3です。ここで、第二の疑問が解けたでしょうか。
ここまでやってみると、x=16までやるのは、かなりかったるいことがわかります。ここで考えるのが「数学的思考」です。
そこで、与式を変形して
2x=3(11-y)
とします。ここで着目すべきは33と3yをまとめて３でくくれることです。
この式をみると2xは３の倍数であることがわかります。・・・・(1)
また逆に、3(11-y)が偶数（２の倍数）であることもわかります。・・・・(2)
(1)から考えるとxは３の倍数でなければいけないので、x=3、6，9，12,15・・となることがわかります。こちらからおのおのの場合のyを求めてもよろしい。
(2)から考えると、「11-y」が偶数になるので、yは奇数とわかり、y=1,3,5,7,9・・・と考えてもよろしい。どちらからでも正解に到達します。

回答No.1

tsuyoshi2004

この問題をyから解いていくのは明らかに面倒と思います。
ましてや、イ、ウでは条件がxなので、当然xから解くべき問題でしょう。

参考書を無視して考えると
2x+3y=33
両辺を3で割って、
2/3x+y=11
yも11も自然数なので、2/3xも自然数であり(A),x≦33/2 (∵2/3x≦11）である(B)。
(A),(B)より、
x=3,6,9,12,15
が当て嵌まる。これらのxを2x+3y=33に代入し
(x,y)=(3,9)(6,7),(9,5),(12,3),(15,1)
となる。