等式を満たす最小の自然数の組

質問

大学の受験勉強をしているのですが考え方がさっぱり分からずお手上げ状態です。勝手ながらここで質問させていただきます。

【問】
4x+7y=2007を満たす自然数x,yの組のうち、
絶対値の差が最小となるx,yの組を次の２つの解法で求めよ。
(1)単純な置換による解法
(2)図形的処理を用いた解法

数日間考えたのですが何から手をつければいいのか全く分からないという状況です。
お手を貸していただければ幸いです。
どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

incd · ベストアンサー

(1) y = x + a　（a: 整数）と置きます（これが置換？）
したがってa の絶対値が少ないほど良い。
すると方程式は
　4x + 7(x+a) = 2007
⇒11x = 2007 - 7a
⇒11x = 11×182 + 5 - 7a
と変形できるので、
(5 - 7a) の部分が11の倍数（正でも負でも良い）になるようにaを選ぶことになります。
ここは気長に順番にa=0,1,2...を調べると
a = 7 のときに (5 - 7a) = -44 となって条件を満たします。
一方, a が負の数の場合を検討する必要があります。これは、7 と 11 の最小公倍数が 77 であることから、再び条件を満たすのは 77 を足すか引くかした時です。つまり、
a = -4 のときに　(5 - 7a) = 33 になって条件を満たします。
絶対値が小さいのはa = -4 だから、こちらが正解。
つまり
　11x = 11×182 + 5 - 7a
⇒11x = 11×182 + 11×3
⇒ x = 185
y = 181.

回答No.8

oldperson

>>#6
早とちりして申し訳ありませんでした。

「自然数の絶対値」...
まだまだ若いですね。
勉強になりました。

回答No.7

daisyan

＃3です。すみません。
又間違いました。
下で「＃4の方」と書いたのは「＃5の方」の間違いでした。

回答No.6

daisyan

#3です。
＃4の方の指摘は適切だと思いますが、
自然数の定義は「正の整数」だとすれば、
｜x｜＝ｘ　,｜ｙ｜＝ｙ
なので
｜｜ｘ｜－｜ｙ｜｜＝｜ｘ-ｙ｜
は常に成立すると思いますが・・・

回答No.5

oldperson

間違っていたら、ごめんなさい。
それから回答ではありませんのでよろしく。

質問には
「絶対値の差が最小となるx,y」
となっています。
差の絶対値とは書いてありません。
つまり
|x-y|
ではなく
||x|-|y||
と解釈できます。
(一般用語としての「差」は差の絶対値。大きいほうから小さいほうを引く)

すると
x = -669 , y = 669
の場合に絶対値の差は 0 となって最小。

回答No.4

daisyan

＃３です。訂正があります。
３行目「ｘ、ｙの絶対値が最小なるのは」
「ｘ、ｙの絶対値の差が最小になるのは」

回答No.3

daisyan

数学の素人ですが、次のように考えてみました。
（1）
　　ｘ、ｙの絶対値が最小なるのは、　　　
　　ｘ＝ｙの場合
　　ｘ＝ｙを　4ｘ+7ｙ＝2007に代入すれば
　　11ｘ＝2007　
　　∴ｘ＝182.45
　　自然数にするには　ｘ＝ｙ＝182とおいてみれば
　　4*182+7*182＝2002　となり2007に5だけ足りない
　　4ｘ+7ｙで５増やすには　ｘを3だけ大きくし、ｙを１だけ小さくすれば　　よい
　　従って　ｘ＝185　ｙ＝181
　　答え　185-181＝4
（2）グラフ用紙に
　　４ｘ＋７ｙ＝２００７　　　　（1）
　　ｘ＝ｙ　　　　　　　　　　　（2）
　　のグラフを書く
　　交点は　ｘ＝ｙ＝182.4545・・・
　　この交点に一番近い式（1）上の自然数の点を探せば
　　ｘ＝185　ｙ＝181
　　が見つかるはず。

回答No.1

koko_u_

(1)の意味がようわからんな。
単純に 4x + 7y = 2007 を解けということか？