自然数の濃度

質問

問、Xを自然数全体の集合Nの部分集合全体とするとき、
　　｜X|＞｜N|　（｜｜は濃度をあらわします。）を証明せよ。

この問の証明を教えてください。

解法として、
1)．｜X|≧｜N|が成り立つ。
2)．｜X|≠｜N|である。
を示したいのですが、2)が分かりません。
XがNの部分集合だったら、全射にならないことは直観でも分かるのですが、
XがNの部分集合全体の時はどう考えればいいのでしょうか。

回答No.4

motochan7185

すみません、先ほどのは入力ミスです。
X⊃{{n} | n∈N}　かつ　X≠{{n} | n∈N}.

補足

回答ありがとうございます。

私、集合・位相の超初心者なので、
X⊃{{n} | n∈N}　かつ　X≠{{n} | n∈N}.
の一行からどう考えてよいのか分かりません。

もし、再回答していただけたら助かります。

回答No.3

motochan7185

X⊃{{n} | n∈N}　かつ　{{n} | n∈N}.

回答No.2

Tacosan

普通は対角線論法ですねぇ. 一般論としては任意の集合 X に対し |2^X| > |X| なんだけど.
ちなみに X ⊂ N かつ |X| = |N| となりうるんだけど, それは OK?

補足

回答ありがとうございます。
X ⊂ N かつ |X| = |N| は分かります。

対角線論法という言葉は、テキストに載っていなかったので、
他の参考書でも調べて見ます。

回答No.1

N64

部分集合全体のことを、冪集合と言うそうですね。
http://www.mnet.ne.jp/~tnomura/infinite.html
が参考になればよいのですが。