Ｑ．Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、｜X｜＞アレフゼロを証

質問

Ｑ．Xを自然数全体の集合Nの部分集合とするとき、｜X｜＞アレフゼロを証明せよ。

以下、ネットでのどなたかの回答を参考に、私なりにテキストを読み返すなどして解釈して、作成しました。
テスト問題としての解答として、
「修正および補足」などをお願いします。

Ａ．
|Ｘ|=|Ｎ|と仮定すると、ＮからＸへの全単射ｆが存在する。
∀n∈N ⇒ f(n)=M, ∃M∈X
∀M∈X ⇒ f(n)=M, ∃n∈N
つまり
1 ←→ M1
2 ←→ M2
・
・
n ←→ Mn
・
・
このとき、左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき、
N∈Mn　または n?Mnとなる。
次に集合M'を以下のように定義する。
(1) n∈Mnのときnを要素としない。
(2) n?Mnのときnを要素とする。
この集合は一意に決まり、また自然数だけを要素に持つ集合となり、明らかに自然数の部分集合を意味する。
つまりM'∈Xであるが、このM'は定義により、上の対応関係からは外れている。
これはNとXとが全単射できたという仮定に矛盾する。
｜X｜≠アレフゼロ
また、写像ｇ：Ｎ→Ｘをｇｎ＝{ｎ}とすると、これは単射であるから
｜Ｎ｜＝アレフゼロ≦｜X｜
以上より、アレフゼロ＜｜X｜

回答No.3

funoe · ベストアンサー

修正版見ました、良いと思います。

細かいことですが、

|Ｘ|=|Ｎ|と仮定すると、ＮからＸへの全単射ｆが存在する。
つまり
1 ←→ M1
・・・

の部分で、Ｍ１が突然現れることと、実はＭｎという表現は、以降に現れないので、

つまり、
１←→f(1)
２←→f(2)
・・・
としたほうが良いと思います。

最初の回答で補足を求められているにもかかわらず上から目線で採点などど僭越な物言いをしたことをお許しください。
眠かったんです。

回答No.2

funoe

私が採点するなら、10点満点で1点ってとこかな。

まず、＃１さんご指摘のとおり、「問題を正確に記述していません。」
（本当はこれをもって、0点としたいとこだけど、大甘で採点しましょう）

おそらく正確には、「Ｘを自然数の部分集合の全体（PowerSET of N）とするとき・・・」でしょ。

次に、
∀n∈N ⇒ f(n)=M, ∃M∈X
∀M∈X ⇒ f(n)=M, ∃n∈N
の部分、声に出して読んでみれば変な記述ってわかると思うけど、あえて書くなら、
∀ｎ∈N、∃M∈X、f(n)=M　かつ
∀M∈X、∃n∈N　 f(n)=M　
ってとこだろうし、そもそも、「ＮからＸへの全単射ｆが存在する。」って書いてあればそれだけで十分だと思うけど。（書く必要のないことを書いてしかも正確でない）

そのつぎには、
「つまり」から
「左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき、N∈Mn　または n?Mnとなる。」
も部分は、正直なにを言いたいかわかんない。
文字化けの部分は、「含まない」の記号だと好意的に解釈しても、なぜNとｎが現れるの？
という単なる誤字の部分は大甘に眼をつぶるにしても
「左右の対応関係について、属するか属さないかを分類でき」って何をいってるかわからない。
この部分、ばっさり削除したほうが良いと思う。

そのつぎには、
次に集合M'を以下のように定義する。
(1) n∈Mnのときnを要素としない。
(2) n?Mnのときnを要素とする。
の部分、せっかく全単射ｆを定義したのだから、Mnなんていう回りくどい記述でなくf(n)を表現すればいいじゃん。

・ｎ∈f(n)　⇒　￢(ｎ∈M)　　　　・・・・「含まない」の記号が出せないのでこんな書き方します。
・￢(ｎ∈f(n)）　⇒　ｎ∈M
とＮの部分集合Ｍを定義する。　とでも書いとけば良いよね。

最大の減点は、そのつぎの
「つまりM'∈Xであるが、このM'は定義により、上の対応関係からは外れている。」
の部分ですね。
Ｍを構成したあと、このＭが全単射ｆの像になっていないことこそがこの設問のキモなのに、
わかってんだかわかってないんだかの記述ですまそうとしている。

全単射ｆのＭの逆像をαとすると（f-1(M)＝α）
α∈f(α）＝Ｍ　⇒　￢(α∈Ｍ）となり矛盾。
また
￢（α∈f(α）＝Ｍ）⇒　α∈Ｍ　となりやはり矛盾。
したがって、Ｍはｆの像になっていない。これはｆをＮからＸへの全単射としたことに矛盾。
以上より、｜ｘ｜≠｜Ｎ｜
一方　ｎ→｛ｎ｝によってＮからＸの中への単射が存在することは明らかなので
｜ｘ｜≧｜Ｎ｜
以上より
｜ｘ｜＞｜Ｎ｜　　//

1点でも甘いかも・・・・。

補足

修正しました。
下記で良いでしょうか？

|Ｘ|=|Ｎ|と仮定すると、ＮからＸへの全単射ｆが存在する。
つまり
1 ←→ M1
2 ←→ M2
・
・
n ←→ Mn
・
・

ｎ∈f(n)　⇒　￢(ｎ∈M)　
￢(ｎ∈f(n)）　⇒　ｎ∈M
とＮの部分集合Ｍを定義する。

この集合は一意に決まり、また自然数だけを要素に持つ集合となり、明らかに自然数の部分集合を意味する。

全単射ｆのＭの逆像をαとすると（f-1(M)＝α）
α∈f(α）＝Ｍ　⇒　￢(α∈Ｍ）となり矛盾。
また
￢（α∈f(α）＝Ｍ）⇒　α∈Ｍ　となりやはり矛盾。
したがって、Ｍはｆの像になっていない。これはｆをＮからＸへの全単射としたことに矛盾。
以上より、｜ｘ｜≠｜Ｎ｜
一方　ｎ→｛ｎ｝によってＮからＸの中への単射が存在することは明らかなので
｜ｘ｜≧｜Ｎ｜
以上より
｜ｘ｜＞｜Ｎ｜=アレフゼロ

回答No.1

jmh

Ｘ＝｛１｝は自然数全体の集合Ｎの部分集合です。