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自然数 0×∞ 集合を使って

さらに修正しました。 以下において、数はすべて自然数(0を含む)とします。 自然数とその加法を  0 = {}  a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} という集合と写像だと考えます。 等号は、同じ集合(要素がすべて同じこと)を表します。 1 以外の加法は、結合法則が成立するように  a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c によって定義します。 自然数を具体的に示せば  0 = {}  1 = {{}} = {0}  2 = {{},{{}}} = {0,1}  3 = {{},{{}},{{},{{}}}} = {0,1,2} などになります。 等号には、次の性質が存在します。  0 = 0  a = b ならば a + 1 = b + 1 これと結合法則から  2 + 3 = 5 なども導けると思います。 加法を無限回行うことは  a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a などと表し、特に a = 1 を  1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞ と表します。 これを無限公理(を若干修正した)  ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A)) を満足する最小の集合と定義します。 ∞ を具体的に示せば  ∞ = {0,1,2,...} になります。 a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり  ∞ + ∞ = ∞ となります。 乗法は  a × b = Σ[k=1,b]a で定義します。ただし、b = 0 ならば  a × 0 = 0 とします。 以上の定義に従って計算する時、 質問1:この式は正しいですか?  1 + Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1  Σ[k=1,∞]1 + 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = Σ[k=1,∞]1 あるいは ∞ を使って  1 + ∞ = ∞ + 1 = ∞ 質問2:この式は正しいですか?  0 × Σ[k=1,∞]1 = 0 あるいは ∞ を使って  0 × ∞ = 0 なお、∞ という記号に、ある集合を表す以上の意味はありません。 「加法を無限回行う」ことも、定義した演算のことです。 ただし、a ∈ b という関係を a < b で表すと  0 < 1 < 2 < ... < ∞ なので、自然数よりも大きな数と考えることができます。

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みんなの回答

  • 回答No.4
  • ibm_111
  • ベストアンサー率59% (74/124)

なんか不自然な書き方になってしまったので訂正。 つまり、  a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} と定義し、かつ、∞と∞∪{∞}は異なることから、∞≠∞+1です。

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質問者からのお礼

a = ∞ の場合に x = ∞ となるのであれば、  ∞ = {0,1,2,...,∞} としなければなりません。それは違うんじゃないかな? 一般的な後者の定義は  a + 1 = a∪{a} だから a = ∞ なら a + 1 = ∞∪{∞} だろうけど。 > a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} において、x = ∞ という値を取ることを証明してください。 回答ありがとうございました。

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  • 回答No.3
  • ibm_111
  • ベストアンサー率59% (74/124)

色々書こうかと思ったんですが、とりあえずこれだけ。 >その不等式を証明してみてください。 >ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。 >よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。 それは「+1の演算」の定義からほとんど自明ですよ。 つまり、  a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} より、∞と∞∪{∞}は異なります。

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  • 回答No.2
  • ibm_111
  • ベストアンサー率59% (74/124)

>  a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a >のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。 つまり、a=N∪{∞}ですね。 すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか? A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・} 「・・・」がやや曖昧ですが、当面無視します。 >∞ + ∞ + ... = ∞ この式はどこから出てきました? >> したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。 >「したがって」って、どこから繋がるのですか? 直前からです。 >質問1の1つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、 いや変わります。 加法を  a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} と定義した以上、  1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1 です。(普通の順序数と同じ)

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質問者からのお礼

> つまり、a=N∪{∞}ですね。 少なくとも、私が言ったのは a ∈ N∪{∞} です。 それが上のように書けるというのなら、過程も記述してみてください。 > すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか? > A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・} なりません。 a = ∞ だったとしても、その要素は 0,1,2,... なので >  ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A)) における x は ∞ を含んでいません。 よって、Aの要素にも ∞ は含まれません。 >>∞ + ∞ + ... = ∞ > >この式はどこから出てきました? > a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a から  ∞ + ∞ + ... = Σ[k=1,∞]∞ であり、これが a = ∞ とした場合の > ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A)) を満足する最小の集合と定義しています。 Aには∞の要素はすべて含まれ、∞の要素は後半の条件をすでに満たしています。 >>「したがって」って、どこから繋がるのですか? > 直前からです。 意味が通らないので、説明をお願いしてみたんですが、無視されるなら仕方ありません。 > 加法を >  a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a} > と定義した以上、 > >  1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1 > > です。(普通の順序数と同じ) その不等式を証明してみてください。 ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。 よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • ibm_111
  • ベストアンサー率59% (74/124)

いろいろつっこめそうなところがあると思いますが、 自分に気づいたのは以下の通り。 >これを無限公理(を若干修正した) > ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A)) >を満足する最小の集合と定義します。 aとはなんですか? >a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり > ∞ + ∞ = ∞ >となります。 それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。 したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。

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質問者からのお礼

> aとはなんですか? >  a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。 > それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。 ∞ + ∞ + ... = ∞ であるから ∞ + ∞ = ∞ となります。 ∞ + ∞ ≠ ∞ であったら、前の式も成立しませんからね。 > したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。 「したがって」って、どこから繋がるのですか? 質問1の1つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、 質問1の2つ目は、∞に対する単なる「+1」という演算であり、それは最初に定義されています。 質問2も、乗法の定義から求められると考えています。 いずれも ∞ + ∞ とは何の関係もないと思いますよ。 回答ありがとうございました。

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