集合論の空集合の公理で

質問

お世話になります。
「Q&A数学基礎論入門」(久間栄道 著)を読んでいたら次のようにありました。

無限公理と分出公理があれば空集合の公理は必要ないので，現在では空集合の公理を省いてある体系もある。具体的には{x∈ω'|￢(x＝x)}とすれば，これは無限公理と分出公理から存在が言えるが、これはφそのものである。

無限公理は次のように書いてあります。

　　∃a((φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a))
　　このaをω'とする。

疑問…何だか循環論のような気がします。

質問…空集合の公理を採用しない体系での無限公理はどのように書くのですか？

どうか教えて下さい。
当方素人ですので、分かり易くお願いいたします。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

[1] 実に尤もな疑問です。仰る通り、もしφが未定義なら、
∃a((φ∈a)∧∀x(x∈a→(x∪{x}∈a)))
は自由変数φを含んでいるから、これじゃ公理にならない。意味を考える以前に、形式からしておかしいですね。

[2] しかし、次の形の無限公理ならば意味を持ちます；
無限公理'：「∃a(∃y(y∈a ∧ ∀x(￢(x∈y))) ∧ ∀x(x∈a→(x∪{x}∈a)))」
この公理からただちに
∃a∃y(y∈a ∧ ∀x(￢(x∈y)))
従って、
∃y(∀x(￢(x∈y)))
が帰結でき、このyが空集合に他なりません。ってことは、無限公理'は空集合の存在を含意している訳です。つまり、空集合を定義するのには無限公理'があれば充分で、分出公理なんか必要ないのです。
（さらに外延の公理があると、空集合は唯一であることが証明できる。で、それをφと書くことに決める。その上で、ご質問に書かれた形の無限公理がようやく意味を持つ。ですが、空集合が唯一であることを証明しなくたって、無限公理'は意味を持ちます。）

[3] 一階述語論理と、等号に関する公理系があって、記号"∈"が導入されている（∈を定義する必要はありません）とき、

分出公理: 「A(x)がxに関する命題であるとき、∀a∃y∀x(x∈y ⇔ x∈a ∧ A(x))」

があれば、A(x)としてx≠xを使って、

∀a∃y∀x(x∈y ⇔ x∈a ∧ x≠x)

しかし＝の反射律によって ⇔ の右側は常に偽だから、

∀a∃y∀x(￢(x∈y))

( )内にはaが現れないのだから∀の消去ができて

∃y∀x(￢(x∈y))
　で、そのyを空集合と呼べば、かくて空集合とは∀x(￢(x∈y))となるyのことである。

つまり、無限公理を除いた公理系でも空集合は存在する。空集合を定義するのには分出公理があれば充分で、無限公理なんか必要ないんです。

[4] 結局、「無限公理と分出公理があれば空集合の公理は必要ない」という話は、間違いではないけれども不親切な言い方であって、「無限公理'か分出公理のどっちかがあれば空集合の公理は必要ない」と言う方が妥当、って訳です。
さてそうなると、同じ空集合の存在が、無限公理'と分出公理の両方からそれぞれ独立に導ける、ってのはなんだか気持ち悪いですよね。
　なので、「分出公理から空集合の存在を導き、次に外延の公理を使ってその唯一性を証明してそれをφと書く事にし、それから無限公理
∃a((φ∈a)∧∀x(x∈a→(x∪{x}∈a)))
を導入する」ってのがきれいな筋書きでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
段階を追って丁寧に説明して頂き、頭の中でもやもやしていたものがすっかり消えてすがすがしい気持ちです。

「無限公理'か分出公理のどっちかがあれば空集合の公理は必要ない」
という中に、ご説明いただいた多くのことが含まれているなんて驚きです。これでまた本の続きを面白く読んでいく気になりました。

ご説明、本当に本当にありがとうございました。

回答No.4

koko_u_

>無限集合ω'はφを使わないでどうやって定義するのだろうか？
公理によって保証されている『無限集合』を好きに取ればよい。
無限公理は別に自然数の集合の存在を主張しているわけではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
まだよく分かりません。
またお聞きしようと思って質問をいろいろ考えてみましたが、質問自体が堂々巡りになっているようで、どのように質問していいのか分からなくなりました。

いただいた回答をもう少し考えてみます。

回答No.3

noname#221368

#1です。#2さんを参考にしています。

　　Φを{x∈ω'|￢(x＝x)}で定義する．(1)

は循環論でもなんでもありません。{x∈ω'|￢(x＝x)}というものは、いくらでも勝手に考える事ができ、それに勝手にΦという名前を付けただけです。ただしこのままでは、Φが本当に存在するかどうかは、何も言えません。
　(1)を満たすようなΦを要素として持つ a が、

　　(φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a)　　(2)

という条件化で存在すれば（分出と合併のシェマとともに）、(1)を満たすΦは存在する、です。
　だから、こうしてもいいんです。{|}の関数記号は、この後に定義するのが本当ですが、

　　∃{x∈ω'|￢(x＝x)}(∃a({x∈ω'|￢(x＝x)}∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a))

　ここまで面倒にしないために、定義という省略記述があります。定義とはたんなる名前付けです（術語の定義）。それの存在とは無関係に行えます。でも最初は気持ち悪いですよね。

お礼

回答ありがとうございます。
もしよろしければ、また教えて頂きたいのですが。

>　　Φを{x∈ω'|￢(x＝x)}で定義する．(1)
>
>は循環論でもなんでもありません。{x∈ω'|￢(x＝x)}というものは、>いくらでも勝手に考える事ができ、

上の「いくらでも勝手に考える事ができ」というのは、

任意の集合ω'に対して{x∈ω'|￢(x＝x)}を作ることができる

ということなんですか？
お礼の中でまた質問で申し訳ありません。

回答No.2

koko_u_

無限公理は「集合というものが少なくとも一つ存在する」ことを含意しています。(具体的には質問文で言うところの ω')

分出公理は「集合から別の集合を作成する」方法を与える公理の集りです。考える論理式の分だけ公理があります。

この二つを使って、既に存在を仮定した ω' から空集合を分出することができる。というだけの話です。

お礼

回答ありがとうございます。
私の質問の仕方がよくなかったんだと思いますが、私の分からないところは

空集合{x∈ω'|￢(x＝x)}を定義したときの無限集合ω'はφを使わないでどうやって定義するのだろうか？
あるいは、φを使わないで無限公理をどうやって書くんだろうか？

ということなんですが。

お忙しい中お答え頂いて本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#221368

恐らくですが、

　　∃a((φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a))

が先にあり、「このaをω'にする」と「定義すれば」空集合は、

　　{x∈ω'|￢(x＝x)}

で定義できるです。このような事は、数学的な本と言えども、著者が論理の流れを分かりやすくしようとして、時々行います。
　「これは、こうできる・・・」、何故なら「あれはこうだからだ」の方式に見えます。

　皆さんの意見をお待ちします。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼の中でまた質問は失礼とは存じますが、教えていただければ幸いです。

>　　∃a((φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a))
>
>が先にあり、「このaをω'にする」と「定義すれば」空集合は、
>
>　　{x∈ω'|￢(x＝x)}
>
>で定義できるです。

空集合{x∈ω'|￢(x＝x)}を定義しているω'の中に空集合φがあるので、それではこのφはどうやって定義するのだろう？
φ≡{x∈ω'|￢(x＝x)}とするなら循環論だしなぁ…

というのが私の疑問なんです。
私の頭が悪くてすみません。