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集合論についての質問です。

次の問題がわかりません。解答や、解くためのヒント、アドバイスよろしくお願いします<(_ _)> Aは可算集合でf:A→Bは写像とする。 f(A)が無限集合ならば、f(A)は可算集合であることを示せ。 よろしくお願いします。

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f:A→B の Aによるfの像がf(A)である、このf(A)をCとし、次の写像f'を考える f':A→C このとき、任意のCの元y∈Cに対して、y=f'(x) なるx∈Aが存在する。 よって写像f'は全射である。写像f'が全射 であれば、#C≦#A (#は濃度を表す)が成り立つ。 題意より、#Cは無限濃度、一方#Aは可算濃度 可算濃度は最も小さい無限濃度なので、#C=#A ということなんだけど、もっと根源的(公理)にもどって証明するのかな? 以外に難しいねぇ。

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質問者からのお礼

一番わかりやすかったのでこの回答をベストアンサーにしました。 みなさんさまざまなアイディアありがとうございました<(_ _)>

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  • tsukita
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集合論が専門でないので、頼りないかもしれませんが… 一般に『写像』の定義から、 集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度はAの濃度を超えません。 したがって、可算集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度は 可算無限あるいはある自然数nに一致します。 ですが、f(A)は無限なので、f(A)の濃度は可算無限に限られます。

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  • 回答No.6
  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)

Aは可算なのでN(自然数全体の集合)の中への単射がある。 x∈f(A)を取ると、f^-1(x)⊆Aは空でなく、異なるxでは交わらない集合になる。 各xについて、f^-1(x)の最小要素(Nへの単射を使って定義する)yを取ることができる。 このとき、対応g: x |-> y はf(A)からAの中への単射になる。 従って、f(A) -> g(f(A))は全単射で、g(f(A))⊆Aよりg(f(A))は可算なので、f(A)も可算。

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  • 回答No.5
noname#221368
noname#221368

 以下はたぶん、#2さんと同じですが、少し見やすい(?)形で・・・。ただし、Aは高々可算という意味に取りました  y∈f(A)に対して、その逆像をf^(-1)(y)と書きます(f^(-1)(y)⊂Aです。念のため)。y1,y2∈f(A)かつy1≠y2について、   ・f^(-1)(y1) ∩ f^(-1)(y2)=φ は明らかです(写像の定義)。そうすると関係R、   ・R: f(x)=f(y)(x,y∈A) は、A上の同値関係であろうと、すぐ見当が付きます(すぐ示せます)。Rによるxの同値類をC(x),RによるAの商集合をZとすると、   f=j・h・i: A→Z→f(A)→B (・は写像の合成)    i: x→C(x) は全射 (x∈X,C(x)∈Z)    h: C(x)→f(x) は全単射 (f(x)∈f(A))    j: f(x)→y は単射 (y=f(x)∈B) も、i,h,j の定義より、ほぼ明らかです。  hが全単射なので、Cardで集合の濃度を表せば、   ・Card(f(A))=Card(Z) (濃度の定義) です。さらに、i が全射なので、   ・Card(f(A))=Card(Z)≦Card(A) (濃度の定義) になります。従ってf(A)の濃度は、可算無限以下。よってf(A)が無限集合なら、可算無限と同濃度(任意の無限濃度は、可算無限以上でもあるから)。  #2さんの方法は、f=j・h・i を、f(A)の側からたどったような感じです。

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  • 回答No.4

No.1 だけども。 いや、何が言いたいか? しまった、WIKI今消したよ、また引っ張ってこよう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88 うん、だから何が聞きたいのかすら分からないのよ。  σ(・・*)は代数だけどね。 Aは 無限集合なわけでしょう?可算集合だから。 実際には無限じゃなくてもいいんだね。 f という写像を持ってきて、 可算集合のとある要素 a∈A こうしておこうか、 を f(a)=b b∈B ってことだよね。 可算集合の要素だから、 a は部分集合でもなんでもいいわけだよね。 でね、今問題では、 ~~~~~ Aが 無限集合 としてあるのと同じこと。 実際は f(A) が無限集合 としたあるね 十分条件ね。 これを B とおくと、 Bは当然可算集合だよね?  #無限集合なんだから。 fが介入しているだけで、特別なことは何もないと思うんだけど。 ~~~~~ fが変な写像だったらいけないけど、何も書いていないからね~。 No.2さんがかいてあるけど、 one to one ですよ、 かなにか書いてないかな?ってことだけよ。 書いてないんだったら、 f は 全単斜です としてしまえば、 至極当たり前のことじゃない? 質問がしてあるから、もう少し何かあるのかな? と思ったんだけど、 何もないのなら、~~~~ で上に書いた部分で証明終わりでいいと思うけど? 連続体か何か? 難しく考えすぎじゃないかなぁ? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=) σ(・・*)多分、今連続体なんて考えても、分からないと思うけど。 倒れた拍子にだいぶ落ちてるからね^^; 問題がこれだったら、何がしたいんだかさっぱり分からない

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  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

可算集合の部分集合は結局可算だと思うんだな.

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  • 回答No.2
  • tmpname
  • ベストアンサー率68% (191/278)

何かすっきりといい方法が思いつかない... 以下f(A) = Cとおく Aの選択関数をΦとして(可算と分かっているのでここでは選択公理は いらない)、 g: C->A を g(y)=Φ(f^(-1)(y))とすれば、gはCからg(C)への全単射で、 g(C)はAの部分集合だから高々可算。 g(C) = Dとしてh: D->Cを h(x) = g^(-1)(x)で定めると hはDからCへの全単射。 よって、以下を示せば良い。 「Dは高々可算で h:D→C はDからCへの全単射とする。 Cが無限集合ならば、Cは可算集合である」 Cは無限集合なので、(選択公理を使って)Cは可算集合を含む。 それをEとし、h^(-1)のEへの制限をjとし、jの像をFとする。 jはEからFへの全単射。FはDの部分集合で、しかもFは可算 (可算集合から有限集合への全単射は無い)。 よってDも可算であって(有限集合は可算集合を含めない)、 C=h(D)も可算である。 ...もっとうまい方法希望..

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  • 回答No.1

ん? どういうこと? 書き間違いかな? f(A) = B 集合だからイコール使うのがいいかどうかは ちょっと今置いて置いてください。m(_ _)m Bが無限集合なら、Bは可算集合? ん? 何が聞きたいのかが分からない。。。 (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

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質問者からの補足

私もあなたがなにいっているかさっぱりわかりません。

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