空集合における＝

質問

赤攝也著「集合論入門」には、集合A,Bに対してA=Bであるとは、どんなxについても
「xがAの元→xがBの元」かつ「xがAの元←xがBの元」が成り立つことだ、見たいに書いてますけど、
たとえばAが空集合の場合どうなるのでしょう。
この場合「xがAの元→xがBの元」は成り立っていると言えるのでしょうか？
それとも、空集合の時は特別に＝の定義をやり直すべきなのでしょうか？
お願いします。

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

>「A=Bであること（定義通りの意味において）」と「AがBという集合であること」
>は僕は違うような気がするのです。
>って自分で言っててもよくわからないのですが、A=BというのはAとBの関係であって、
>後者はAという集合の説明というか、、、。

なんとなくわかるような気がします。
たとえば…

「女子高生はすべてルーズソックスを履いていて、
女子高生以外にルーズソックスを履いている人は存在しない」
という状況が(仮に)成り立っているとして、
Aを{女子高生の集合}、
Bを{ルーズソックスを履いた人の集合}としたとき、
A＝Bであるとは言えるけれど、
「女子高生の集合はルーズソックスを履いた人の集合である」
というのはおかしい、という感じでしょうか…。

難しい言葉で言うと、集合の「外延」による定義と「内包」による定義を
交換していいか、という疑問となるでしょうか。
これは哲学の方の用語ですが、「内包」というのは、
ある集合の成員すべてが共通して持っている性質です。
たとえば「偶数の集合」の内包は「2で割り切れる・整数である」
という条件です。内包的定義で集合を表すと、
{x|xは整数　かつ　xは2で割り切れる}となります。
「外延」とは集合の成員全体を表します。
「偶数の集合」で言えば、外延的定義は
{...-4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}で表す手法です。

現実世界では、内包で定義された集合と、外延で定義された集合を
同一視することは一般には誤りです。ただ、数学では、
この種の同一視はよくあります。

現実世界では、内包は、何らかの意味を担っています。
(たとえば「ルーズソックスを履いている」という意味)
それが外延的定義と置き換わると、意味が消失してしまいます。
また、内包と外延のつながりは、必ずしも絶対的ではありません。
　しかし、数学の場合は、内包的定義と外延的定義が一致したとすれば、
それは絶対的に一致しているので、とりかえてもかまわないことになります。

＃空集合の表現は、外延的定義を使って、
φ＝{}
と表すのが簡単です。
この場合、内包で表す方が難しい。
強いて言えば、
φ＝{x| x < 0 かつ 5 < x}
とでもなるでしょうか。
そんな条件を満たすxは存在しないので、この集合に元はない。
よって空集合である。という訳です。ここでも内包と外延を交換しています。

お礼

繰り返しありがとうございます。
そうだと確定はできませんが、たぶん僕の疑問はそういう物だと思います。
「内包」と「外延」ですか。結構納得した気がします。

回答No.1

liar_adan

問題なのはA＝φ、B＝φであるときですね。

この場合、すべてのxについて
「xがAの元→xがBの元」かつ「xがAの元←xがBの元」
ということは成り立っています。

たとえば、
「ゴジラが出現したならば、日が西から昇る」
という命題は、論理的には「真」です。
なぜなら、「ゴジラが出現した」という事態はありえないので、
後段がどうでもよくなってしまうのです。

「xがAの元→xがBの元」という命題も、すべてのxについて
成り立っています。なぜなら「xがAの元」という事態がないから。
最初は違和感があると思いますが、
命題の真偽としてはそうなります。
「xがAの元←xがBの元」も同様。

お礼

お礼の欄を借りて質問させて下さい。
任意の集合Aに対して、ある条件Cがあってその集合Aを{x|C(x)}とかける。
(∵たとえば{x|xはAに含まれる}とかける）
という記述があったのですが、A=φの時はどうなるのでしょうか？
このときもφに含まれるようなXは存在しないですし。
ほかの方の意見でもいいんで、どんどんお願いします。

補足

どうもです。わかりやすい例ありがとうございます。
少し話は変わりますが、「A=Bであること（定義通りの意味において）」と「AがBという集合であること」
は僕は違うような気がするのです。
って自分で言っててもよくわからないのですが、A=BというのはAとBの関係であって、
後者はAという集合の説明というか、、、。
解らないところが何処なのかよくわかりませんが、すっきりしません。
できたら参考意見下さい。